第 14章全等三角形-构造特殊三角形 课件 2022--2023学年沪科版八年级上册数学

构造特殊三角形 知识梳理 利用特殊角构造 1 构造特殊三角形 知识梳理 45° AC=BC ∠A=∠B=∠C=60° AB=BC=AC 30° 60° A B C A B C B A C A B C 30° 60° 60° 60° 60° 已知30°、45°、60°角构造直角三角形或等边三角形常用辅助线 ∠B=30° ∠A=30° ∠A=45° 作角一边的垂线 截取边相等构造等边三角形 2 例题 如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°， 求CD的长. 设CD=x ∠ADC=120°，∠EDC=180°－∠ADC=60°， 分析： 延长AD、BC交于点E，构造特殊三角形 AE=4+x，BE=1+x 4+x=2(1+x) E x x 4 x 1 A B C D △DCE为等边三角形 ∠A=30°，∠B=90° AE=2BE 3 A B C D E 例题 如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°， 求CD的长. 延长BC、AD相交于点E, ∵∠ADC=120°，∠A=30°，∠B=90° ∴∠E=60°，∠CDE=60° 则CD=DE=EC 设CD=x，则AE=4+x，BE=1+x 在Rt△ABE中， ∵∠B=90°，∠A=30° ∴AE=2BE 即 4+x=2(1+x) 解得 x=2 ∴CD的长为2 x x 4 x 1 小结： 遇到30°角、120°角，通过作垂线或反向延长角的一边（得到邻补角），构造含30°角的直角三角形是解决此类问题的关键，可以由角度的条件得到边与边的数量关系，进而借助角度条件解决边的问题. 解： 4 例题 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E 为△ABC外一点，∠CEA=45°， 求证：AE⊥BE 方法2：过点A作 AD⊥CE于点D，过点B作BG⊥CE于点G 分析： 需证∠CEB=45° 证明：△ACF≌△BCE 要证：AE⊥BE 方法1：过点C作 CF⊥CE交EA的延长线于点F 证明：△ACD≌△CBG A B C E F A B C E D G 5 A B C E 过点C作CF⊥CE交EA的延长线于点F， ∵∠CEF=45° ∴CE=CF， ∵∠ACB=90°，∠ECF=90° ∴∠ACF=∠BCE 又CA=CB ∴△CAF≌△CBE（SAS）， ∴∠BEC=∠CFA=∠CEA=45°， ∴∠AEB=90°， ∴AE⊥BE. 方法一 F 例题 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E 为△ABC外一点，∠CEA=45°， 求证：AE⊥BE 证明： 6 过点 A 作AD⊥CE 垂足为点 D，过点 B 作 BG⊥CE 于点G， 在Rt△ADE中，∵∠AEC=45° ∴AD=DE， 又∠ACB=90°，∠BGC=90° 且∠ACD+ ∠BCG=90°，∠BCG+ ∠CBG=90° ∴∠ACD=∠CBG 又AC=BC ∴△ACD≌△CBG（AAS）， ∴CD=BG，CG=AD=DE ∴CD=GE=BG，∴BG=GE， ∴△BGE为等腰直角三角形，∴∠BEC=45°， ∴∠AEB=90°，∴AE⊥ BE. A B C E G D 例题 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E 为△ABC外一点，∠CEA=45°， 求证：AE⊥BE 方法二 证明： 7 例题 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 E 为△ABC外一点，∠CEA=45°， 求证：AE⊥BE 小结：遇到45°角、135°角，通过作垂线或补角（得45°），构造含45°角的直角三角形是解决此类问题的关键，它可以由“等边对等角”得到相等的线段，进而利用全等三角形解决问题 A B C E F A B C E D G 8 例题 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°， 求证：BD+DC=AB 方法2：延长CD至F，使CF=AB 分析： 将BD或CD补成与AB相等的线段 证明：DF=DB 证明：DE=DC 要证：BD+DC=AB 方法1：延长BD至E，使BE=AB E A B C D F A B C D 9 E A B C D 例题 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°， 求证：BD+DC=AB 延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE ∵∠ABD=60°，AB=BE ∴△ABE为等边三角形， ∴ AE=AB=AC，∠AED=∠ACD=60° ∴△ACE为等腰三角形 ∴∠ACE