6.4.3.2正弦定理教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理 教学设计 1、 教材分析 《正弦定理》是人教A版新教材必修二第六章第四节平面向量的应用的内容之一，是必修一第五章《三角函数》中有关三角形知识的继续与发展，进一步揭示三角形的边角关系，也是本章前几节平面向量相关知识在三角形中的应用。 正弦定理和余弦定理作为刻画三角形边角关系非常重要的两个定理，是解三角形基本而重要的工具。在以往的教材中，“正余弦定理及其应用举例”是单独作为一章“解三角形”出现，但人教A版新教材中，将这两个定理融入平面向量的应用中，进一步突出向量在解决数学问题中的应用价值。此外，正弦定理在解决物理、测量、工业等方面实际问题中应用广泛，体现了数学的工具性和基础性。 2、 学情分析 学生在初中就已经讨论过三角形中的边角关系，具备一定的知识基础，但初中对于边角关系的探讨大多停留在定性描述阶段，正弦定理则是对三角形边角关系的定量刻画。由定性描述到定量刻画，需要学生具备一定数学抽象概括能力。 本章前几节学生学习了平面向量的基础知识及其在平面几何、物理中的应用，前一课时运用向量法对余弦定理进行了探究，这都为本节学习正弦定理奠定良好的知识与方法基础。 但是与余弦定理探究过程对比发现，在定理证明环节，使用向量法证明余弦定理十分简洁，而利用向量法证明正弦定理则比较复杂。因为向量的数量积运算中出现的是两向量夹角的余弦，正弦定理中涉及的是角的正弦，需要通过作新的向量构造角之间的互余关系，利用诱导公式将边与角的余弦关系转化为正弦关系。这一过程对于学生的思维无疑是巨大的挑战。实际上证明正弦定理的方法有很多，如通过作高利用锐角三角函数证明、利用三角形面积证明、借助外接圆证明等，这些方法甚至都比向量法简洁。因此在实际教学中，定理证明环节可以放手让学生自主探究，生成多种证明方法。教材中着重讲的向量法思维量较大，学生难以自主生成，需要教师详细地引导学生一步步证明。 3、 教学目标 基于以上教材和学情分析，制定本节的教学目标如下： 1. 理解掌握正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法，学会运用正弦定理解决简单的解三角形问题； 2. 在“发现定理、验证定理、证明定理、应用定理”的过程中体会由特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力； 3. 在小组合作探究过程中，实现思维的碰撞，培养学生学习数学的自信心和热情，养成善于合作交流的好习惯。 4、 教学重难点 教学重点：探究证明正弦定理的方法，理解掌握正弦定理的内容，应用正弦定理解决两角及任一边、两边及一边对角的解三角形问题 教学难点：正弦定理的证明，特别是向量法证明正弦定理 5、 教学策略 为实现以上教学目标，突出重点、突破难点，我将采用探究式教学。在教师启发引导下，学生通过小组合作交流，以“正弦定理的发现及证明”为基本探究内容，经历“发现问题——提出猜想——验证猜想——证明定理——生成定理——应用定理”这一过程，让学生了解正弦定理的来龙去脉，加深学生对于定理的认识与理解，提升学生数学建模、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 6、 教学过程 1. 创设情境，发现问题 从生活中测量距离的问题出发，设A、B两点在河两岸，为测量A、B之间的距离，测量者在B同侧所在河岸取一点C，测出BC=24m，∠C=45°，∠B=75°，根据这些数据，能否求出A、B之间的距离？ 师：先给学生时间让其尝试思考解决，学生会发现解决起来有些困难，此时教师可以引导学生由生活情境抽象得到数学问题：在△ABC中，已知两角夹边，求其他边。 【设计意图】从生活中的实际问题抽象得到数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣，让学生体会数学在实际生活中的应用，在这一过程中学生的抽象概括能力得到提高。 2. 探究特例，提出猜想 师：同学们在初中借助直角三角形定义了锐角三角函数，在以C为直角的直角三角形中，容易得到，，，观察以上三式，它们之间有什么联系？能否将它们合成一个式子？ 生： 师：在直角三角形中，有成立，一般地，在锐角或钝角三角形中，该结论是否依然成立？ 此时，教师可以引导学生大胆提出猜想：在任意三角形中，都有成立。 【设计意图】从学生熟悉的直角三角形出发，引导学生发现正弦定理。再由直角三角形联想到一般的三角形，体现了由特殊到一般的数学思想，同时鼓励学生大胆提出猜想，有利于学生养成善于思考、敢于求索、勇于求真的精神品质。 3. 几何画板，验证猜想 【师生共同活动】提出猜想后，教师现场利用几何画板构造三角形以及比值，，，让学生上台拖动改变三角形的形状，同时观察三个比值的变化。 【设计意图】通过几何画板初步验证了正弦定理的正确性，为学生后面探索证明方法树立信心，让学生对定理的认识由感性逐步上升到理性。 4. 小组探究，证明定理 师：几何画板仅对结论的正确性进行验证，数学是讲究严密逻辑性的学科，下面同学们以小组为单位展开探