3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

单调性与最大(小)值 (第2课时) 1 知识点一 :函数的最大(小)值的概念 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值,最大值为9;曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值,最小值为-2. 1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤ M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数 y=f(x) 的最大值 2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥ M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最小值 思考2:若函数f(x)≤M,则M一定是函数的最大值吗? 提示:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是. 函数的最值与值域有怎样的关系? (1)函数的值域一定存在,函数的最值不一定存在. (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素. (3)若函数的值域是开区间,则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为: h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少(精确到1m) 解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 例5 求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值. 解:任取x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则 ∴ 函数是区间[2,6]上的单调递减. ∴ f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=. P81页练习 1. 整个上午(8: 00~12: 00)天气越来越暖,中午时分(12: 00~13: 00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18: 00)才又开始转凉. 画出这一天8: 00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象(示意图),并说出所画函数的单调区间. 单调递增区间为[8, 12], [13, 18]; 单调递减区间为[12, 13], [18, 20]. 2. 设函数f(x)的定义域为[-6, 11]. 如果f(x)在区间[-6, -2]上单调递减,在区间[-2, 11]上单调递增,画出f(x)的一个大致的图象,从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个_. P81页练习 最小值 x O y 1 2 3 4 5 - 1 -2 - 3 -4 - 5 -1 -2 1 2 - 6 6 7 8 9 10 11 解:任取x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则 ∴ 函数是区间[2,6]上的单调递减. ∴ f(x)max=f(2)=,f(x)min=f(6)=. 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 2. 利用图象求函数的最大(小)值; 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b). 求函数的最大(小)值的方法总结: 题型一 x y o 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 5 (2)由图可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),(2,5),单调递减区间为(0,2),值域为[-1,3]. 利用函数图像求函数的最值(值域) 1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是_. -1、2 x y o 1 2 3 1 2 3 -1 -2 故f(x)的最大值为1,最小值为0 【练习】 题型二 x1-x2 (x1+1)(x2+1) 利用函数单调性求函数的最值(值域) 同理f(x)在[2,4]上是增函数. ∴当x=2时,f(x)取得最小值4;当x=1或x=4时,f(x)取得最大值5. 【练习】 [解析] (1)令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0. 题型三 抽象函数的最值 例3 1.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( ) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.[-1,3] 课后练习 x y o 1 2 1