7.2.3 同角三角函数的基本关系式（课时作业）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

训练五　同角三角函数的基本关系式 [对应素能提升训练第8页] 1.已知sin θ＝－，且θ为第四象限角，则tan θ＝ （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　因为sin θ＝－，sin2θ＋cos2θ＝1，所以cos θ＝±.因为θ为第四象限角，所以cos θ＝，所以tan θ＝＝－. 答案　D 2.已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则m的允许值为 （　　） A.＜m＜6 B.－6＜m＜ C.m＝4 D.m＝4或m＝ 解析　∵sin α＝，cos α＝－， ∴＋＝1，∴m＝4或m＝.∵α为第二象限角，∴＞0，－＜0，因此m＝4. 答案　C 3.已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值是 （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　∵＜α＜，∴sin α＞cos α，cos α－sin α＜0. ∴cos α－sin α＝－＝－ ＝－. 答案　B 4.已知tan θ＝2，则的值为 （　　） A. B. C. D.2 解析　由题意＝＝＝＝. 答案　C 5.化简的值为 （　　） A.sin θ B.cos θ C.1 D.tan θ 解析　由同角三角函数关系tan θ＝，得＝＝＝cos θ. 答案　B 6.化简：＝　　　　　　.  解析　原式＝ ＝＝｜cos 40°－sin 40°｜ ＝cos 40°－sin 40°. 答案　cos 40°－sin 40° 7.若＝－5，则tan α＝　　　　.  解析　由＝＝－5，解得tan α＝－. 答案　－ 8.已知sin α＝，α∈，求cos α，tan α的值. 解　∵sin α＝，α∈， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－. 9.（2022·嘉峪关高一期末）已知关于x的一元二次不等式x2－2x＋tan θ≤0的解集中有且只有一个元素，求下列两个式子的值： （1）； （2）. 解　由已知，关于x的一元二次不等式x2－2x＋tan θ≤0的解集中有且只有一个元素，可得Δ＝8－4tan θ＝0，则tan θ＝2.则 （1）＝＝3. （2）＝＝＝. 10.已知＜θ＜，sin θ－2cos θ＝1，则tan θ＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　∵sin θ－2cos θ＝1，∴sin θ＝2cos θ＋1，两边同时平方可得sin2θ＝4cos2θ＋4cos θ＋1，又sin2θ＋cos2θ＝1，故5cos2θ＋4cos θ＝0，解得cos θ＝－或cos θ＝0，又＜θ＜，∴cos θ＝－，sin θ＝－，tan θ＝，故选B. 答案　B 11.（2022·焦作高一期中）已知x∈，且cos3xsin x＋sin3xcos x＝－，则tan x＝ （　　） A.－2 B.－ C.－ D.－3 解析　由cos3xsin x＋sin3xcos x＝－，得cos xsin x（cos2x＋sin2x）＝－，所以sin xcos x＝－，＝－，＝－，所以2tan2x＋5tan x＋2＝0，（tan x＋2）（2tan x＋1）＝0，解得tan x＝－2或tan x＝－，因为x∈，所以tan x＜－1，所以tan x＝－2，故选A. 答案　A 12.（2022·眉山高一月考）若tan θ＝－2，且θ∈，则sin θ＋cos θ＝ （　　） A. B. C.－ D.－ 解析　因为tan θ＝＝－2，所以sin θ＝－2cos θ，因为sin2θ＋cos2θ＝1，即4cos2θ＋cos2θ＝1，所以可得cos2θ＝.因为θ∈，cos θ＞0，所以cos θ＝，所以sin θ＝－2cos θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－＋＝－. 答案　C 13.已知sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π）.求： （1）sin θ－cos θ的值； （2）tan θ的值； （3）sin3θ－cos3θ的值. 解　（1）∵sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π）， ∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝. ∴2sin θcos θ＝－， ∴（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝. 又∵θ∈，∴sin θ－cos θ＝. （2）∵ ∴ ∴tan θ＝＝－. （3）原式＝（sin θ－cos θ）（sin2θ＋sin θcos θ＋cos2θ） ＝（sin θ－cos θ）（1＋sin θcos θ）＝×＝. 14.（1）求证：＝； （2）已知＋＝1，求证：＋＝1. 证明　（1）∵右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝左边， ∴原等式成立. （2）设sin2A＝m（0＜m＜1），sin2B＝n（0＜n＜1）， 则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n. 由＋＝1， 得＋＝1， 即（m－n）2＝0. ∴m＝n，∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.