7.2.1 三角函数的定义（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.2任意角的三角函数 7.2.1　三角函数的定义 [学习任务] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.能利用定义解决相关问题. [对应学生用书第7页] 知识点一　三角函数的定义 1.正弦、余弦与正切 　　如图所示，设P（x，y）是任意角α终边上异于原点的任意一点，r＝. 名称 定义 定义域 说明 正弦 sin α＝ R ①α为任意角， ②P（x，y）， ③OP＝r 余弦 cos α＝ R 正切 tan α＝ {α︱α≠kπ＋，k∈Z} 2.三角函数 　　对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠kπ＋（k∈Z）时，有唯一的正切与之对应.角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化. （　×　） （2）若角α终边过点（1，3），则sin α＝. （　√　） （3）终边在x轴上的角的正切值不存在. （　×　） 知识点二　正弦、余弦与正切在各象限的符号 记忆口诀：“一　全正　，二　正弦　，三　正切　，四　余弦　”. 1.已知sin α＝，cos α＝－，则角α所在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为sin α＝＞0，cos α＝－＜0，所以角α所在的象限是第二象限，故选B. 答案　B 2.（多选）给出下列各三角函数值：①sin（－100°）；②cos（－220°）；③tan 2；④cos 1.其中符号为负的是 （　　） A.① B.② C.③ D.④ 解析　对于①，因为－100°为第三象限角，所以sin（－100°）＜0；对于②，因为－220°为第二象限角，所以cos（－220°）＜0；对于③，因为2弧度角为第二象限角，所以tan 2＜0；对于④，因为1弧度角为第一象限角，所以cos 1＞0，故选ABC. 答案　ABC [对应学生用书第8页] 探究一　三角函数的定义及应用 [例1]　（1）已知角α的终边与半径为1的圆交于P，则sin αcos α＝ （　　） A.－ B.－ C. D. [解析]　因为角α的终边与半径为1的圆交于P， 所以r＝｜OP｜＝1，所以sin α＝－，cos α＝， 所以sin αcos α＝－×＝－. [答案]　B （2）已知角θ的终边上一点P（3a，4a）（a≠0），求角θ的正弦、余弦和正切值. [解]　∵x＝3a，y＝4a， ∴r＝＝5｜a｜. ①当a＞0时，r＝5a， 则sin θ＝＝＝， cos θ＝＝＝，tan θ＝＝＝. ②当a＜0时，r＝－5a， 则sin θ＝＝＝－， cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝. 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角α的终边在直线上，求角α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与半径为1的圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. ②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标（a，b），则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. （2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 1.若角α的终边落在直线y＝－3x上，求sin α和cos α的值. 解　角α的终边落在直线y＝－3x上，设终边上任一点P（x，－3x）. 若x＞0，则r＝x，sin α＝－，cos α＝； 若x＜0，则r＝－x，sin α＝，cos α＝－. 探究二　已知三角函数值求参数或点的坐标 [例2]　（1）已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与半径为1的圆的交点坐标是 （　　） A. B. C. D. [解析]　设交点坐标为P（x，y），根据三角函数的定义，可得x＝cos α＝－，y＝sin α＝，所以角α的终边与半径为1的圆的交点坐标是. [答案]　D （2）已知第二象限角θ的终边上有两点A（－1，a），B（b，2），且cos θ＋3sin θ＝0，则3a－b＝ （　　） A.－7 B.－5 C.5 D.7 [解析]　由cos θ＋3sin θ＝0得tan θ＝＝－，由三角函数定义知tan θ＝－a＝＝－，解得a＝，b＝－6，∴3a－b＝1＋6＝7. [答案]　D 　　已知三角函数值求点的坐标或参数值的关键是熟练应用三角函数的定义，利用定义构建方程或方程组，同时要注意验证参数值是否满足题意. 2.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M（x，8）是角θ终边上一点，则x等于 （　　） A.－12 B.－10 C.－8 D.－6 解析　由已知可得x＜0，利用三角函数的定义得＝－，解得x＝－6. 答案　D 3.若tan