7.1.1 角的推广（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数

7.1任意角的概念与弧度制

7.1.1　角的推广

[学习任务]

1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.

2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.

[对应学生用书第1页]

知识点一　角的概念与分类

1.角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的　始　边和　终　边.

2.角的分类

　　注意正角、负角的旋转方向

3.角的加减运算的几何意义

　　设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.把角α的终边旋转角－β，这时终边所对应的角是　α－β　.

4.象限角

　　角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）.

（1）经过1小时，时针转过30°. （　×　）

（2）终边与始边重合的角是零角. （　×　）

（3）第一象限角都是锐角. （　×　）

（4）钝角是第二象限角. （　√　）

（5）第三象限角一定比第一象限角大. （　×　）

知识点二　终边相同的角

　　所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为　S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为　α　.

与2 022°终边相同的角是 （　　）

1. －112°
2. B.－72°

C.222°

D.142°

解析　∵2 022°＝360°×5＋222°，∴与2 022°终边相同的角是222°.

答案　C

[对应学生用书第2页]

探究一　任意角的概念辨析

[例1]　（1）在下列说法中：

①0°～90°的角是第一象限角；

②第二象限角大于第一象限角；

③钝角都是第二象限角；

④小于90°的角都是锐角.

其中说法错误的序号为　　　　. 

[解析]　①0°角不属于任何象限，所以①不正确.②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确.③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确.④锐角的集合是{α｜0°＜α＜90°}，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确.

[答案]　①②④

（2）如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝　　　　. 

[解析]　∠AOC＝60°＋（－820°）＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.

[答案]　－40°

判断角的概念问题的关键与技巧

（1）关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

（2）技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.

1.α是任意一个角，则α与－α的终边 （　　）

A.关于坐标原点对称 

B.关于x轴对称

C.关于y轴对称 

D.关于直线y＝x对称

解析　设任意角α终边上一点的坐标为P（x，y），则对应的角－α的终边点的坐标为P'（x，－y），因为点P（x，y）与P'（x，－y）关于x轴对称，可得角α与－α的终边关于x轴对称.

答案　B

2.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝              （　　）

A.150° 

B.－150°

C.390°

D.－390°

解析　由题意，∠AOC＝120°＋（－270°）＝－150°，故选B.

答案　B

探究二　终边相同的角及应用

[例2]　分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.