7.1.1 角的推广（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

第七章　三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 [学习任务] 1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示. [对应学生用书第1页] 知识点一　角的概念与分类 1.角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的　始　边和　终　边. 2.角的分类 　　注意正角、负角的旋转方向 类型 定义 图示 正角 按照　逆时针　方向旋转而成的角 负角 按照　顺时针　方向旋转而成的角 零角 当射线　没有　旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角 3.角的加减运算的几何意义 　　设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.把角α的终边旋转角－β，这时终边所对应的角是　α－β　. 4.象限角 　　角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）经过1小时，时针转过30°. （　×　） （2）终边与始边重合的角是零角. （　×　） （3）第一象限角都是锐角. （　×　） （4）钝角是第二象限角. （　√　） （5）第三象限角一定比第一象限角大. （　×　） 知识点二　终边相同的角 　　所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为　S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}　.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应元素为　α　. 与2 022°终边相同的角是 （　　） A. －112° B. B.－72° C.222° D.142° 解析　∵2 022°＝360°×5＋222°，∴与2 022°终边相同的角是222°. 答案　C [对应学生用书第2页] 探究一　任意角的概念辨析 [例1]　（1）在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于90°的角都是锐角. 其中说法错误的序号为　　　　.  [解析]　①0°角不属于任何象限，所以①不正确.②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°＞120°，所以②不正确.③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确.④锐角的集合是{α｜0°＜α＜90°}，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确. [答案]　①②④ （2）如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝　　　　.  [解析]　∠AOC＝60°＋（－820°）＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. [答案]　－40° 判断角的概念问题的关键与技巧 （1）关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. （2）技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可. 1.α是任意一个角，则α与－α的终边 （　　） A.关于坐标原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于直线y＝x对称 解析　设任意角α终边上一点的坐标为P（x，y），则对应的角－α的终边点的坐标为P'（x，－y），因为点P（x，y）与P'（x，－y）关于x轴对称，可得角α与－α的终边关于x轴对称. 答案　B 2.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝ （　　） A.150° B.－150° C.390° D.－390° 解析　由题意，∠AOC＝120°＋（－270°）＝－150°，故选B. 答案　B 探究二　终边相同的角及应用 [例2]　分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合. [解]　①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β｜β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β｜β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β｜β＝k·180°，k∈Z}. ②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β｜β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β｜β＝135°＋k·180°，k∈Z}. ③终边在直线y＝x上的角的集合为{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S＝{β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β｜β＝4