7.3.3 余弦函数的性质与图象（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.3.3　余弦函数的性质与图象 [学习任务] 1.能正确使用“五点法”、图象变换法等画出余弦函数的简图. 2.能类比正弦函数的图象与性质得出余弦函数的图象与性质. [对应学生用书第31页] 知识点一　余弦函数的性质 1.余弦函数 　　对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数. 2.余弦函数的性质 性质 内容 定义域 　R　 值域 　[－1，1]　 周期性 　T＝2kπ　，k∈Z，最小正周期为　2π　 奇偶性 　偶函数　 单调区间 在　[－π＋2kπ，2kπ]　（k∈Z）上递增， 在　[2kπ，π＋2kπ]　（k∈Z）上递减 最值 x＝2kπ（k∈Z）时，取得最大值　1　； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，取得最小值　－1　 对称性 对称轴为x＝　kπ　，对称中心为，其中k∈Z 零点 ＋kπ（k∈Z） 1.函数f（x）＝cos的最小正周期是 （　　） A. B.π C.2π D.4π 解析　最小正周期为T＝＝＝π.故选B. 答案　B 2.函数y＝cos，x∈的值域是　　　　.  解析　∵0≤x≤，∴≤x＋≤， ∴cos ≤cos≤cos . ∴－≤y≤，即值域为. 答案　 知识点二　余弦函数的图象 　　把正弦函数y＝sin x的图象向左平移个单位就得到余弦函数y＝cos x的图象，该图象称为　余弦曲线　. [思考]　利用平移法作余弦函数图象的依据是什么？为什么不能利用sin＝cos x来确定平移的方向和单位长度？ [提示]　平移法作余弦函数图象主要依据诱导公式⑥：sin＝cos x.显然在诱导公式⑤：sin＝cos x中，两个函数的解析式中自变量的系数符号相反，所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度. [对应学生用书第32页] 探究一　余弦函数图象的画法 [例1]　已知函数f（x）＝4cos.画出f（x）在[0，π]上的图象. [解]　因为f（x）＝4cos，所以列表如下： 2x－ － 0 π x 0 π y 2 4 0 －4 0 2 作余弦（型）函数图象的方法 （1）五点作图法；（2）图象变换法；（3）平移坐标轴. 1.作出函数y＝－2cos在一个周期内的图象. 解　用五点法作图.列表如下： x－ 0 π 2π x y －2 0 2 0 －2 描点、连线，得y＝－2cos在上的图象如图所示： 探究二　余弦函数的单调性 [例2]　（1）下列区间是函数f（x）＝5cos的单调递减区间的是 （　　） A. B. C. D. [解析]　因为f（x）＝5cos＝5cos， 且函数y＝cos x在（k∈Z）上单调递减， 所以2kπ≤2x－≤π＋2kπ（k∈Z），kπ＋≤x≤＋kπ（k∈Z）， 所以函数f（x）＝5cos的单调递减区间是（k∈Z）， 当k＝0，函数f（x）＝5cos的单调递减区间是，结合选项知，D选项符合，故选D. [答案]　D （2）（2022·祁阳高一期末）已知ω＞0，函数f（x）＝cos在上单调递减，则ω的取值范围是 （　　） A. B. C. D. [解析]　函数f（x）在2kπ≤ωx－≤2kπ＋π时单调递减，解得≤x≤（k∈Z），根据题中条件又有函数f（x）在上单调递减，所以解得4k＋≤ω≤2k＋（k∈Z）. 又因为函数f（x）在上单调递减，所以T≥π⇒ω≤2.又因为题中已知ω＞0，所以可求得k＝0，故有≤ω≤. [答案]　B 　　确定函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）单调区间的基本思想是整体换元思想，即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.同时还应兼顾函数的定义域. 2.函数y＝cos的单调递增区间是 （　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） 解析　y＝cos＝cos，令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案　B 3.已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的最小正周期为π，若函数y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是　　　　.  解析　由函数f（x）＝cos（ω＞0）的最小正周期为π，则＝π，得ω＝2.则f（x）＝cos，当x∈[0，a]时，函数单调递减，则2x＋∈，若此时函数为减函数，则2a＋≤π，所以0＜a≤，即a的最大值为. 答案　 探究三　余弦函数的值域 [例3]　（1）函数y＝2cos，x∈的值域为　　　　.  [解析]　当x∈时，2x＋∈，在区间上，cos∈，所以y＝2cos的值域为[－1，2]. [答案]　[－1，2]