7.3.1 第1课时 正弦函数的性质（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.3三角函数的性质与图象 7.3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 [学习任务] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.掌握函数y＝sin x的单调性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性. [对应学生用书第20页] 知识点　正弦函数的性质 1.正弦函数 　　对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦　sin x　与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数.  2.周期 　　一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的　每一个x　，都满足f（x＋T）＝　f（x）　，那么就称函数f（x）为周期函数，　非零常数T　称为这个函数的周期. 3.函数y＝sin x的性质 函数 定义域 值域 周期 最小 正周期 单调性 零点 y＝ sin x R [－1，1] 2kπ （k∈Z） 2π 增区间：（k∈Z） 减区间：（k∈Z） kπ （k∈Z） 1.函数f（x）＝sin 4x是 （　　） A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 解析　由题意得f（x）＝sin 4x，所以f（－x）＝sin（－4x）＝－sin 4x＝－f（x），故f（x）为奇函数，周期T＝＝，故选A. 答案　A 2.下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 （　　） A.[0，π] B. C. D.[π，2π] 解析　在[0，π]，[π，2π]上y＝sin x不是单调函数，排除A，D；在上y＝sin x是单调递减函数，排除B，故选C. 答案　C [对应学生用书第21页] 探究一　正弦函数的值域 [例1]　（1）函数y＝sin x－｜sin x｜的值域是 （　　） A.{0} B.[－2，2] C.[0，2] D.[－2，0] [解析]　因为y＝sin x－｜sin x｜＝ 而sin x＜0时，－1≤sin x＜0，即－2≤2sin x＜0，于是得－2≤y≤0，所以函数y＝sin x－｜sin x｜的值域是[－2，0]. [答案]　D （2）函数y＝cos2x＋2sin x－5，x∈的最小值为 （　　） A.－3 B.－ C.1 D.－ [解析]　函数y＝cos2x＋2sin x－5，x∈，令t＝sin x，由－≤x≤可得－≤t≤，∴y＝cos2x＋2sin x－5＝1－sin2x＋2sin x－5＝－t2＋2t－4＝－（t－1）2－3，由二次函数性质可知当－≤t≤时，y＝－（t－1）2－3单调递增，∴当t＝－时，函数取最小值－，故选D. [答案]　D （3）函数y＝的值域为　　　　.  [解析]　方法一：y＝＝ ＝1－. ∵sin x＋1∈（0，2]，∴∈. 当sin x＝1时，ymax＝－， 故该函数的值域为. 方法二：由y＝，得（sin x＋1）y＝sin x－2， 即（1－y）sin x＝y＋2， 显然y≠1，∴sin x＝. ∵－1＜sin x≤1，∴－1＜≤1， 解得y≤－，即函数的值域为. [答案]　 　　（1）求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性（－1≤sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋b≤y≤｜a｜＋b. （2）求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性. （3）求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解，也可以反解出y，利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式求解. 1.函数y＝1－2sinx的最小值和最大值分别是 （　　） A.－1，3 B.－1，1 C.0，3 D.0，1 解析　因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1时，函数y＝1－2sinx有最大值3，当sinx＝1时，函数y＝1－2sinx有最小值－1. 答案　A 2.函数f（x）＝cos2x＋sin x（x∈R）的最大值为 （　　） A.－1 B. C.1 D. 解析　f（x）＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1 ＝－＋，又－1≤sin x≤1， 所以当sin x＝时，f（x）max＝. 答案　D 探究二　正弦函数的奇偶性与周期性 [例2]　（1）函数y＝3sin（2x＋π）是 （　　） A.周期为的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为的偶函数 [解析]　函数y＝3sin（2x＋π）＝－3sin 2x，其最小正周期为T＝＝π，由－3sin（－2x）＝3sin 2x，可得函数为奇函数. [答案]　C （2）关于函数f（x）＝sin（x＋φ）（x∈R），下列命题正确的是 （　　） A.存在φ，使f（x）是偶函数 B.