7.3.1 第1课时 正弦函数的性质（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.3三角函数的性质与图象

7.3.1　正弦函数的性质与图象

第1课时　正弦函数的性质

[学习任务]

1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.

2.掌握函数y＝sin x的单调性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.

[对应学生用书第20页]

知识点　正弦函数的性质

1.正弦函数

　　对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦　sin x　与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 

2.周期

　　一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的　每一个x　，都满足f（x＋T）＝　f（x）　，那么就称函数f（x）为周期函数，　非零常数T　称为这个函数的周期.

3.函数y＝sin x的性质

1.函数f（x）＝sin 4x是 （　　）

A.周期为的奇函数

B.周期为的偶函数

C.周期为的奇函数

D.周期为的偶函数

解析　由题意得f（x）＝sin 4x，所以f（－x）＝sin（－4x）＝－sin 4x＝－f（x），故f（x）为奇函数，周期T＝＝，故选A.

答案　A

2.下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 （　　）

A.[0，π]

B.

C.

D.[π，2π]

解析　在[0，π]，[π，2π]上y＝sin x不是单调函数，排除A，D；在上y＝sin x是单调递减函数，排除B，故选C.

答案　C

[对应学生用书第21页]

探究一　正弦函数的值域

[例1]　（1）函数y＝sin x－｜sin x｜的值域是 （　　）

A.{0}

B.[－2，2]

C.[0，2]

D.[－2，0]

[解析]　因为y＝sin x－｜sin x｜＝

而sin x＜0时，－1≤sin x＜0，即－2≤2sin x＜0，于是得－2≤y≤0，所以函数y＝sin x－｜sin x｜的值域是[－2，0].

[答案]　D

（2）函数y＝cos2x＋2sin x－5，x∈的最小值为 （　　）

A.－3

B.－

C.1

D.－

[解析]　函数y＝cos2x＋2sin x－5，x∈，令t＝sin x，由－≤x≤可得－≤t≤，∴y＝cos2x＋2sin x－5＝1－sin2x＋2sin x－5＝－t2＋2t－4＝－（t－1）2－3，由二次函数性质可知当－≤t≤时，y＝－（t－1）2－3单调递增，∴当t＝－时，函数取最小值－，故选D.

[答案]　D

（3）函数y＝的值域为　　　　. 

[解析]　方法一：y＝＝

＝1－.

∵sin x＋1∈（0，2]，∴∈.

当sin x＝1时，ymax＝－，

故该函数的值域为.

方法二：由y＝，得（sin x＋1）y＝sin x－2，

即（1－y）sin x＝y＋2，

显然y≠1，∴sin x＝.

∵－1＜sin x≤1，∴－1＜≤1，

解得y≤－，即函数的值域为.

[答案]　

　　（1）求解形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性（－1≤sin x≤1）求解，此时有－｜a｜＋b≤y≤｜a｜＋b.

（2）求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性.

（3）求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解，也可以反解出y，利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式求解.

1.函数y＝1－2sinx的最小值和最大值分别是 （　　）

A.－1，3

B.－1，1

C.0，3

D.0，1