7.2.3 同角三角函数的基本关系式（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 [学习任务] 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. [对应学生用书第12页] 知识点　同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式 描述方式 基本关系式 基本关系式 语言描述 平方关系式 　sin2α＋cos2α＝1　 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系式 　tan α＝　 　　 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 2.同角三角函数基本关系式的变形 （1）sin2α＋cos2α＝1⇒ （2）tan α＝⇒ 1.已知角α是第一象限角，且sin α＝，则cos α的值是 （　　） A.－ B. C. D. 解析　因为角α是第一象限角，且sin α＝，sin2α＋cos2α＝1，所以cos α＝＝＝. 答案　C 2.已知tan α＝，α∈，则cos α的值是 （　　） A.± B. C.－ D. 解析　由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝.因为α∈，所以cos α＝－. 答案　C [对应学生用书第13页] 探究一　已知一个三角函数值求另外两个三角函数值 [例1]　（1）已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α的值. （2）已知cos α＝－，求sin α和tan α的值. [解]　（1）cos2α＝1－sin2α＝1－＝，又因为α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－，tan α＝＝－. （2）sin2α＝1－cos2α＝1－＝， 因为cos α＝－＜0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝. 已知三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝，求得tan α的值. （2）若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝，求得tan α的值. （3）若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±. 1.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值. 解　由tan α＝＝，得sin α＝cos α. ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 探究二　化切求值 [例2]　已知tan α＝3，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）sin2α＋cos2α. [解]　（1）原式＝＝＝. （2）原式＝＝＝－. （3）原式＝ ＝ ＝＝. 化切求值的方法技巧 （1）已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. （2）对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. 2.若tan α＝3，则2sin αcos α＝ （　　） A.± B.－ C. D. 解析　因为tan α＝3＝，所以sin α＝3cos α，因此2sin αcos α＝＝＝＝. 答案　C 3.若sin α－3cos α＝0，则2cos2α－1的值为 （　　） A. B.－ C. D.－ 解析　由条件可知＝tan α＝3，2cos2α－1＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－. 答案　B 探究三　sin α±cos α型求值问题 [例3]　已知sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π），求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值. [解]　因为sin θ＋cos θ＝（0＜θ＜π）， 所以（sin θ＋cos θ）2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由上知θ为第二象限角， 所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝ ＝＝. 　　已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： （1）（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ； （2）（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ； （3）（sin θ＋cos θ）2＋（sin θ－cos θ）2＝2； （4）（sin θ－cos θ）2＝（si