7.2.2 单位圆与三角函数线（word教参）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第三册（人教B版）

7.2.2　单位圆与三角函数线 [学习任务] 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. [对应学生用书第10页] 知识点一　单位圆 　　一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆. 知识点二　三角函数线 1.正弦线与余弦线 　　如图所示，如果过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，则可以直观地表示cos α：的方向与x轴的正方向相同时，表示cos α是　正数　，且cos α＝｜｜；的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是　负数　，且cos α＝－｜｜.习惯上，称为角α的　余弦线　.类似地，图中的可以直观地表示sin α，因此称为角α的　正弦线　. 2.正切线 　　如图所示，设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tan α，因此称为角α的　正切线　.当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值. 正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）正弦线也可写成. （　×　） （2）三角函数线都只能取非负值. （　×　） （3）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在. （　√　） （4）当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点. （　√　） [对应学生用书第10页] 探究一　作三角函数线 [例1]　作出的正弦线、余弦线和正切线. [解]　角的终边（如图）与单位圆的交点为P. 作PM垂直于x轴，垂足为M， 过A（1，0）作单位圆的切线AT， 与的终边的反向延长线交于点T， 则的正弦线为，余弦线为，正切线为. 三角函数线的画法 （1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. （2）作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线. 1.作出－的正弦线、余弦线和正切线. 解　如图所示，－的正弦线为，余弦线为，正切线为. 探究二　利用三角函数线比较大小 [例2]　分别比较sin 与sin ；cos 与cos ；tan 与tan 的大小. [解]　在直角坐标系中作单位圆如图所示. 以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点， 作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点， 则sin ＝MP，cos ＝OM，tan ＝AT. 同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线， sin ＝M'P'，cos ＝OM'，tan ＝AT'. 由图形可知，MP＞M'P'，符号相同，则sin ＞sin ； OM＞OM'，符号相同，则cos ＞cos ； AT＜AT'，符号相同，则tan ＜tan . 　　利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步： （1）角的位置要“对号入座”； （2）比较三角函数线的长度； （3）由有向线段的方向确定三角函数的正负. 2.利用三角函数线比较：a＝sin ，b＝cos ，c＝tan 的大小. 解　如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线和的余弦线、正切线. 由＝π－知＝，又＜＜，易知cos π＜sin ＜tan ，故b＜a＜c. 探究三　利用三角函数线解不等式 [例3]　利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围. （1）sin α＜－； （2）cos α＞. [解]　（1）如图①，过点作x轴的平行线交单位圆于P，P'两点，则sin∠xOP＝sin∠xOP'＝－，∠xOP＝，∠xOP'＝， 故α的范围是{α︱＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}. （2）如图②，过点作x轴的垂线与单位圆交于P，P'两点，则cos∠xOP＝cos∠xOP'＝，∠xOP＝，∠xOP'＝－，故α的范围是{α︱－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}. 利用三角函数线解三角不等式的方法 利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点.一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a（或sin x≤b，cos x≤a），只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c（或tan x≤c），则取点（1，c），连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得. 3.（2022·遂川高一月考）满足cos α≤－的角α的集合为　　　　　　　　　　　　.  解析　作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α︱