特色专项增分练 高难解答突破训练(二)-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案课件PPT（新教材，创新版）

3套高难解答突破训练 高难解答突破训练(二) 特色专项增分练 本课结束 1．已知双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(3),3)x，且过点P(3， eq \r(2)). (1)求C的方程； 解　(1)因为双曲线C的渐近线方程为 y＝± eq \f(\r(3),3)x， 故设C的方程为 eq \f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)， 又双曲线C过点P(3， eq \r(2))，所以 eq \f(32,3)－( eq \r(2))2＝λ， 解得λ＝1， 所以C的方程为 eq \f(x2,3)－y2＝1. (2)设Q(1，0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点． 解　(2)证明：显然直线BQ的斜率不为0， 设直线BQ的方程为x＝my＋1，B(x1，y1)， D(x2，y2)，A(x1，－y1)， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,x2－3y2＝3，)) 消去x整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0， 依题意m2－3≠0且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3， 所以y1＋y2＝－ eq \f(2m,m2－3)，y1y2＝－ eq \f(2,m2－3)， 直线AD的方程为y＋y1＝ eq \f(y2＋y1,x2－x1)(x－x1)， 令y＝0，得x＝ eq \f(（x2－x1）y1,y2＋y1)＋x1＝ eq \f(x1y2＋x2y1,y1＋y2) ＝ eq \f(（my1＋1）y2＋（my2＋1）y1,y1＋y2) ＝ eq \f(2my1y2＋（y1＋y2）,y1＋y2) ＝ eq \f(2m·\f(－2,m2－3)－\f(2m,m2－3),－\f(2m,m2－3))＝3， 所以直线AD过定点(3，0). 2．(2022·柳州三模)若f(x)＝ eq \f(1,2)(x－2)2－bx＋2a ln x. (1)当a>0，b＝a时，讨论函数f(x)的单调性； 解　(1)因为f(x)＝ eq \f(1,2)(x－2)2－bx＋2a ln x， 当a>0，b＝a时，f′(x)＝x－2－a＋ eq \f(2a,x) ＝ eq \f(x2－（a＋2）x＋2a,x)＝ eq \f(（x－a）（x－2）,x)(x>0)， 令f′(x)＝0，解得x＝a或2， 当a>2时，则0<x<2或x>a时，f′(x)>0，2<x<a时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减， 当a＝2时，f′(x)＝ eq \f(（x－2）2,x)≥0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当0<a<2时，则0<x<a或x>2时，f′(x)>0，a<x<2时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(0，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减． (2)若b＝0，且f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>1. 解　(2)证明：当b＝0时，f(x)＝ eq \f(1,2)(x－2)2＋2a ln x， f′(x)＝x－2＋ eq \f(2a,x)＝ eq \f(x2－2x＋2a,x)(x>0)， 因为函数f(x)有两个极值点，所以方程x2－2x＋2a＝0有两个正根x1，x2， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,x1x2＝2a>0，))且Δ＝4－8a>0， 解得0<2a<1， f(x1)＋f(x2)＝ eq \f(1,2)(x1－2)2＋2a ln x1＋ eq \f(1,2)(x2－2)2＋2a ln x2＝ eq \f(1,2)(x eq \o\al(2,1)＋x eq \o\al(2,2))－2(x1＋x2)＋2a ln x1x2＋4＝ eq \f(1,2)(x1＋x2)2－x1x2－2(x1＋x2)＋2a ln x1x2＋4＝2a ln 2a－2a＋2， 令t＝2a，h(t)＝t ln t－t＋2(0<t<1)， 则h′(t)＝ln t<0， 所以y＝h(t)在(0，1)上单调递减， 所以h(t)>h(1)＝1，即f(x1)＋f(x2)>1. 3．(2022·菏泽二模)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，抛物线E上不同的两点M，N只能同时满足下列三个条件中的两个： ①|FM|＋|FN|＝|MN|； ②|OM|＝|ON|＝|MN|＝8 eq \r(3)； ③直线MN的方程为x＝6p. (1)问M，N两点只能满足哪两个条件(只写出序号，无需说明理由)？并求出抛物线E的标准方程； 解　(1)只能同时满足的条件为②③， 由|OM|＝|ON|＝|MN|知△OMN为等边三角形，且MN⊥x轴， 由x＝6