第二编 专题七 规范答题系列六 函数与导数类解答题-【金版教程】2023高考数学大二轮专题复习冲刺方案课件PPT（新教材，创新版）

专题七　函数与导数 规范答题系列六　函数与导数类解答题 第二编　突破主干知识专题 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 1 等级细解 PART ONE 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 2 答题启示 PART TWO 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 3 跟踪训练 PART THREE 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 等级细解 答题启示 跟踪训练 本课结束 (2022·烟台三模)(12分)已知函数f(x)＝aex－ln (x＋1)(a∈R). (1)证明：当a＞0时，函数f(x)存在唯一的极值点； 解题思路　(1)先求函数f(x)的导函数f′(x)并整理，再构造与f′(x)符号变化规律相同的新函数g(x)，分析g(x)的单调性和函数值符号的变化规律，依据极值点的定义说明函数f(x)存在唯一的极值点． 解　(1)证明：函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝aex－ eq \f(1,x＋1)＝ eq \f(a（x＋1）ex－1,x＋1).(1分) 令g(x)＝a(x＋1)ex－1(x＞－1)，则g′(x)＝aex(x＋2)， 因为x＞－1，所以ex＞0，x＋2＞0， 当a＞0时，g′(x)＞0在(－1，＋∞)上恒成立， 所以函数g(x)在(－1，＋∞)上单调递增，(2分) 又g(－1)＝－1＜0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 所以存在唯一的x0∈(－1，＋∞)，使得g(x0)＝0，(3分) 当x∈(－1，x0)时，g(x)＜0，即f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－1，x0)上单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，g(x)＞0，即f′(x)＞0， 所以函数f(x)在(x0，＋∞)上单调递增． 所以函数f(x)存在唯一的极值点．(5分) (2)若不等式f(x)≥cos (a－1)恒成立，求a的取值范围． 解题思路　(2)构造φ(x)＝aex－ln (x＋1)－cos (a－1)，转化为φ(x)≥0恒成立，由当x＝0时，φ(0)≥0恒成立探求不等式恒成立的必要条件(a的取值范围)，再证明此条件的充分性，进而求出a的取值范围． 解　(2)不等式f(x)≥cos (a－1)恒成立， 即φ(x)＝aex－ln (x＋1)－cos (a－1)≥0在(－1，＋∞)上恒成立． 所以当x＝0时，φ(0)＝a－cos (a－1)≥0恒成立， 令h(a)＝a－cos (a－1)，a∈R，所以h′(a)＝1＋sin (a－1)≥0， 所以h(a)在(－∞，＋∞)上单调递增，又h(1)＝1－cos (1－1)＝0， 由a－cos (a－1)≥0得h(a)≥h(1)，则有a≥1.(6分) 令m(x)＝ex－x－1，则m′(x)＝ex－1， 当x＞0时，m′(x)＞0，m(x)单调递增；当x＜0时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，则m(x)＝ex－x－1在x＝0时取得最小值m(0)＝e0－0－1＝0， 则ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号).(7分) 令n(x)＝x－ln (x＋1)(x＞－1)，则n′(x)＝1－ eq \f(1,x＋1)＝ eq \f(x,x＋1)， 当x＞0时，n′(x)＞0，n(x)单调递增；当－1＜x＜0时，n′(x)＜0，n(x)单调递减，则n(x)＝x－ln (x＋1)(x＞－1)在x＝0时取得最小值n(0)＝0－ln (0＋1)＝0，则x≥ln (x＋1)(当且仅当x＝0时取等号).(8分) 因为φ′(x)＝aex－ eq \f(1,x＋1)， 当a＝1时，φ(x)＝ex－ln (x＋1)－1≥(x＋1)－1－ln (x＋1)＝x－ln (x＋1)≥0(当且仅当x＝0时取等号).(9分) 令k(x)＝aex－ eq \f(1,x＋1)，x∈(－1，＋∞)，当a＞1时，k′(x)＝aex＋ eq \f(1,（x＋1）2)＞0， 所以k(x)即φ′(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 且φ′(0)＝a－1＞0，φ′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝ae,a) eq \s\up15(－1) －a＜a－a＝0， 所以存在x1∈(－1，0)，使φ′