专题11 平面向量的概念与线性运算（重难点突破）-【赢在寒假】2022年高一寒假精品课讲与练（新教材人教A版2019）

专题11 平面向量的概念与线性运算 【重难点知识点网络】： 【重难点题型突破】： 一、平面向量的概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 例1 .(1)、（2022·上海中学东校高一期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 (2)、（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（    ） A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量 B．若向量，则 C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形 D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算 (3)、（2022·全国·高三专题练习）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2022·湖北·高二期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）(多选)下列说法中，正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向不确定 D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同 【变式训练1-3】、（2022·河北·衡水阳光中学高二开学考试）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 二、平行向量与共线向量 例2 .(1)、（2022·全国·高一期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． (2)、（2022·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法: ①都是单位向量; ②∥∥ ③与相等的向量有3个; ④与共线的向量有3个; ⑤与向量大小相等、方向相反的向量为. 其中正确的是____.(填序号) (3)、（2022·全国·高一课前预习）给出下列各命题： （1）零向量没有方向； （2）若||＝||，则＝； （3）单位向量都相等； （4）向量就是有向线段； （5）两相等向量若其起点相同，则终点也相同； （6）若＝，＝，则＝；（7）若，，则； （8）若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________________. 【变式训练2-1】、（2022·湖南·长沙县实验中学高一期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练2-2】、（2022·江苏·高一课时练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中： （1）有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________； （2）存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________. 【变式训练2-3】、（2022·全国·高一专题练习）下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 例3、（2022·贵州·罗甸县第一中学高二开学考试）已知向量． (1)求证：三点共线． (2)若，求的值． 【变式训练3-1】、（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； (3)若与不共线，试求的取值范围. 三、平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则　　　 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 例4 .(1)、（2022