第05讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方(讲义）-【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第05讲 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 知识点1：同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 细节剖析 （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 知识点2：幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 细节剖析 （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点3：积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 细节剖析 （1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点4注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 题型一：同底数幂的乘法 【例1】（2022春•嘉兴期末）已知x＝2m+1，y＝3+2m+1，若用含x的代数式表示y，则y＝　2x+1　． 【思路引导】逆用同底数幂的乘法公式，把x＝2m+1变形为2m＝x﹣1，而2m+1＝2•2m，所以2m+1＝2（x﹣1），从而把y用含x的代数式表示出来． 【完整解答】解：∵x＝2m+1， ∴2m＝x﹣1． ∵2m+1＝2•2m， ∴2m+1＝2（x﹣1）． ∴y＝3+2m+1 ＝3+2（x﹣1） ＝2x+1． 故答案为：2x+1． 【变式1-1】（2021春•栾城区期末）已知3m＝8，3n＝2，则3m+n＝　16　． 【思路引导】逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【完整解答】解：∵3m＝8，3n＝2， ∴3m+n＝3m•3n＝8×2＝16． 故答案为：16． 【变式1-2】（2022春•定远县校级期末）对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN，比如指数式24＝16可转化为4＝log216，对数式2＝log525互转化为52＝25． 我们根据对数的定义可得对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0） 解决以下问题： （1）将指数43＝64转化为对数式 　3＝log464　； （2）试说明（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）； （3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34＝　1　． 【思路引导】（1）根据对数的定义转化即可； （2）设设logaM＝m，logaN＝n，转化成指数式M＝am，N＝an，根据同底数幂除法的运算法则可得＝am÷an＝am﹣n，再转化成对数形式即可； （3）根据对数的定义计算即可． 【完整解答】解：（1）指数43＝64转化为对数式3＝log464， 故答案为：3＝log464； （2）设logaM＝m，logaN＝n， 则M＝am，N＝an， ∴＝am÷an＝am﹣n， ∴m﹣n＝ ∴＝logaM﹣logaN； （3）log32+log36﹣log34 ＝log32×6÷4 ＝log33 ＝1． 故答案为：1． 【变式1-3】（2022春•沛县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空： （5，125）＝　3　，（﹣3，1）＝　0　，（﹣2，﹣）＝　﹣5　． （2）令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42） 【思路引导】（1）根据新定义的运算计算即可． （2）分别表示各式，再判断． 【完整解答】解：（1）∵如果ac＝b，那么（a，b）＝c，53＝125，（﹣3）0＝1，（﹣2）﹣5＝， ∴（5，125）＝3，（﹣3，1）＝0，（﹣2，﹣）＝﹣5． 故答案为：3，0，﹣5． （2）由题意得：4a＝6，4b＝7，4c＝42． ∵42＝6×7， ∴4c＝4a×4b＝4a+b， ∴a+b＝c． ∴（4，6）+（4，7）＝（4，42）． 题型二：幂的