第04讲 多边形的内角和与外角和(讲义）-【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第04讲 多边形的内角和与外角和 知识点1：多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：凸多边形 凹多边形 细节剖析 (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 知识点2：多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 细节剖析 (1) 内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和； ②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 知识点3：多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 细节剖析 (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数； ②已知多边形边数求各相等外角的度数． 题型一：三角形内角和定理 【例1】（2022春•西安月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠AED＝75°，∠A＝60°，则∠B的度数为 　45°　． 【思路引导】在△ADE中，利用三角形内角和定理，可求出∠ADE的度数，由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠B的度数． 【完整解答】解：在△ADE中，∠A＝60°，∠AED＝75°， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣60°﹣75°＝45°． 又∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝45°， ∴∠B的度数为45°． 故答案为：45°． 【变式1-1】（2022春•泌阳县月考）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝39°，DE∥BC，点F在直线AB上，连接EF．若△AEF为直角三角形，则∠DEF的度数为 　51°或11°　． 【思路引导】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，结合“两直线平行，同位角相等”可得出∠AED分度数，分∠AFE＝90°及∠AEF＝90°两种情况考虑，当AFE＝90°时，利用三角形内角和定理可求出∠AEF的度数，将其代入∠DEF＝∠AED﹣∠AEF中即可求出∠DEF的度数；当AEF＝90°时，由∠DEF＝∠AEF﹣∠AED即可求出∠DEF的度数． 【完整解答】解：在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝39°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣62°﹣39°＝79°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C＝79°． 分两种情况考虑： 当∠AFE＝90°时，∠AEF＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°， ∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEF＝79°﹣28°＝51°； 当∠AEF＝90°时，∠DEF＝∠AEF﹣∠AED＝90°﹣79°＝11°． 综上，∠DEF的度数为51°或11°． 故答案为：51°或11°． 【变式1-2】（2022秋•江油市期中）如图，已知AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠C＝60°，∠EAD＝20°，求∠B的度数． 【思路引导】先根据AD⊥BC得出∠ADC＝90°，再由∠C＝60°可知∠CAD＝30°，根据∠EAD＝20°可得出∠EAC的度数，由AE平分∠BAC可知∠BAC＝2∠EAC，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【完整解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°． ∵∠EAD＝20°， ∴∠EAC＝∠EAD+∠CAD＝20°+30°＝50°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC＝2×50°＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣100°﹣60°＝20°． 【变式1-3】（2022秋•千山区期中）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E，∠ABC＝56°，∠C：∠ADB＝3：4，求∠BAC和∠DAE的度数． 【思路