第01讲 探索直线平行的条件和性质(讲义）-【寒假自学课】2023年七年级数学寒假精品课（苏科版）

第01讲 探索直线平行的条件和性质 知识点1：同位角、内错角、同旁内角的概念 1. “三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1. 图1 细节剖析 1 两条直线AB,CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2. 同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1， （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角. （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角. （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 细节剖析 (1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角. (2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 知识点2：同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征 细节剖析 巧妙识别三线八角的两种方法： (1)巧记口诀来识别： 一看三线，二找截线，三查位置来分辨. (2)借助方位来识别 根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2． 知识点3：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 细节剖析 (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点. ④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点4：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 细节剖析 (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． (2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一． （3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 知识点5：直线平行的判定 判定方法1：两直线平行，同位角相等，.如上图，几何语言： ∵　∠3＝∠2 ∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠1＝∠2 ∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵　∠4＋∠2＝180° ∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 细节剖析 平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. 题型一：三线八角 方法技巧 1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角． 2．同位角形如字母“F"(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)． 3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的． 【例1】（2022春•潢川县期末）如图：点C是直线AB上一点，过点C作CD⊥CE，那么图中∠1和∠2的关系是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．互补 D．互余 【思路引导】依据∠ACB是平角，∠DCE是直角，即可得出∠1与∠2的关系． 【完整解答】解：∵点C是直线AB上一点， ∴∠ACB＝180°， 又∵CD⊥CE， ∴∠DCE＝90°， ∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°， 即∠1与∠2互余， 故选：D． 【考察注意点】本题主要考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 【变式1-1】（2022春•西吉县期末）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是 　∠2、∠4　． 【思路引导】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据定义进行分析即可． 【完整解答】