15.4.2角平分线的性质定理 教案 2022—2023学年沪科版数学八年级上册

15.4 角的平分线 教学内容 本节课主要学习角的平分线定理，理解这个定理可以用来简化证明过程，领会它是证明线段相等的又一个工具。 教学目标 1、知识与技能 探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它们的作图方法。 2、过程与方法 经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两个定理的作用，发展几何空间意识。 3、情感、态度与价值观 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值。 重、难点与关键 1、重点：掌握角平分线的性质定理和逆定理。 2、难点：运用角平分线定理简化证明线段相等的问题。 3、关键：把握全等三角形这个工具，推导出角平线定理，可以通过实物操作让学生有一个感情认识，再用全等严格证明。 教学过程 一、创设情境，操作感知 1、教师演示：教师拿出如图16.4-1的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画出一条射线AE，教师指出：“AE是否平分 ( 12 ) ( B ) ( D ) ( A )∠A，∠E呢？你能说一说吗？” ( 34 ) ( C )学生活动：观察教师的教具演示，发现这个教 具中，AD=AB，DC、BC，那么只要AE通过点 C，则就构成两个三角形：△ADC和△ABC，又因为AC是公共边，很容易证出△ADC≌△ABC（SSS）；再运用全等三角形性质推出∠1=∠2，∠3=∠4，即AE就是平分线。 2、折纸验证 课堂活动：让同学们拿出半透明的纸，在上面任画一个角， 请你用拆叠的方法，找出角的平分线。 ( B )学生活动：按上面要求，画课本图16-21如下： ( D ) ( D ) ( B ) ( C ) ( A ) ( C(B) ) ( A ) ( C ) ( A ) ( 课本图16-21 ) ( C ) 在操作中，发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 教师引导：请同学们再用量角器量一量，看看不起个结论对吗？ 学生活动：拿出量角器，验证出上述结论是正确的，加深认识。 设计意图：上述设计，目的是让学生从感性认识提升到理性认识。 二、尺规作图，导入新知 课堂活动：教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线，要求学生与教师同步操作，在完成课本图16-22的图形后，提出思考问题。 ( B C A )问题思索： ( D )1、为什么所做的OP，就是∠AOB的平 ( P )分线呢？ ( O )2、如课本图16-24，OP是∠AOB的平分 ( 课本图16-24 )线，P是OP上的任一点，过点P分别作P C⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足，根据你学过的知识，图只你们得到哪些结论？写出这个问题的已知，求证，并给出证明。 学生活动：讨论、分析，写出已知、求证，并证明如下。 已知：如课本图16-24所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C。 求证：PD=PC 教师归纳：上面的思考，主要是让大家能和严谨的推理解决前面通感知得到的结论。 师生共识：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。 设计意图：让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来。 三、情境合一，优化思维 1、情境思考。 ( T ) ( 公路 )如图16.4-2所示，要在T区建一个超市，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个超市应建在什么地方呢：（在图上标出它的位置，比例尺为1:2000）。 引导学生分析、解决问题，这里要特别强调； ( 公路 )写已知、求证这两个环节要正确，否则证明将 ( 图16.4-2 )没有意义。 已知：如图16.4-3所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，PD=PE。求证：PD=PE。 ( A )求证：点P在∠AOB的平分线上。 ( D )证明：经过点P作射线OC。 ( P )∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠AOC=∠PEO=900。 ( 图16.4-3 ) ( E ) ( B ) ( O )在Rt△RtPDO和△RtPEO中， OP=OP OP=PE ∴Rt△RtPDO和△RtPEO（HL） ∴∠AOC=∠BOC ∴OC是∠AOC的平分线。 教师活动：请部分学生上讲台“板演“，然后引导学生去发现新的结论。 2、师生共识。 由刚才的例子可以得到一个结论：角平分线的逆命题仍然是正确的。 定理归纳：在一个角内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 教学形：对比数学，依据互逆性弄清两个定理的条件、结论、加深理解。 四、范例学习，应用所学 例、（见课本P136例题） 思路分析：因为已知，求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们，所以“过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC、PQ⊥AB，垂足分别为M、N、Q”，这一段话要在证明中写明，同辅助线一样处理，如果已