6.2.3向量的数乘运算（第2课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 （第2课时） 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 综上，我们有如下定理：(共线向量定理) 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 例7.如图，已知任意两个非零向量，试作，，猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，不论向量怎样变化，点始终在直线上，猜想三点共线. 事实上，因为， ， 所以. 因此，，三点共线. 例8.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量.由向量，共线，可知存在实数，使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 课堂练习 随堂检测 A，B，D ∴A，B，D三点共线. 解析　因为A，B，D三点共线， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 5.设是不共线的两个向量. (2)若与共线，求实数的值. 解：(2)∵与共线， ∴存在实数，使得 即 ∵与不共线，∴解得 共线向量定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 注：定理中不能漏掉.若，则实数可以是任意实数；若，,则不存在实数，使得. 课堂小结 THANKS “ ” 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))(或eq \o(BC,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))且x＋y＝1． 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． 1．(多选题)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　　) A．a＝2e，b＝－2e B．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2 C．a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2 D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2 ABC　[对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b； 对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．] 2.已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是___________. 解析　∵＝e1＋2e2，＝＋ ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2， ∴，共线，且有公共点B， 3．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________． －4　[因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝λk，,k＝8λ))⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．] 所以解得k＝－. 4.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝_____. 故存在一个实数λ，使得＝λ， 又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2， 所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) $