6.2.3向量的数乘运算（第1课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.3向量的数乘运算 （第1课时） 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量的数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线. 3 3.向量减法三角形法则: 复习回顾 1、向量加法法则：     A B C   三角形法则：首尾相接, 首指尾为和   A B O C     平行四边形法则：共起点, 共点对角线为和 A B O       A B C D           “共起点连终点，箭头指向被减向量” 探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即. 类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即. 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 零乘任何向量的结果为零向量； 乘任何向量得到这个向量的相反向量. 思考：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 证明(1) 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 例5.计算： (1)；(2)(3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a. 解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a ＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b. 例6.如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 课堂练习 1. 任画一向量 ，分别求作向量 . A C B 2. 点C在线段AB上，且 ，则 C A B 作法： M P N 3. 把下列各小题中的向量 表示为实数与向量 的积： 随堂检测 1.化简： (1)(2) 解：(1)原式 (2)原式 2.如图，四边形是以，为邻边的平行四边形，已知，，对角线交于点，又，，试用向量表示，. 解：∵∴ ∴ ∵∴ ∴. 一、① 的定义及运算律. ②向量共线基本定理. 二、 定理的应用： 1.证明向量共线： 向量 与 共线 2.证明三点共线： A，B，C三点共线 3.证明两直线平行： AB与CD不在同一条直线上 课堂小结 THANKS “ ” 1．eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于(　　) A．2a－b　　　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b B　[原式＝eq \f(1,6)(2a＋8b)－eq \f(1,3)(4a－2b)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b ＝－a＋2b．] 解析　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b). 2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于 A.(a－b) B.－(a－b) C.(a＋b) D.－(a＋b) $