上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试卷

上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高二上10月月考数学试卷 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.直线经过点,且倾斜角为,则直线的方程为 . 2.方程表示一个圆,则实数的取值范围是 . 3.两条直线与的交点在曲线上,则实数 . 4.若直线与直线平行,则实数的值为 . 5.经过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 . 6.已知点是圆外一点,则直线与圆的位置关系为 . 7.平面直角坐标系内,点,点到直线的距离分别为,则满足条件的直线有 条. 8.已知直线与曲线有且仅有一个公共点,则实数的取值范围为 . 9.圆和圆交于,两点,则弦的垂直平分线的方程是 . 10.已知圆和两点,.若圆上存在点,使得,则的最小值为 11.设点,点和分别为直线和轴上的两动点,则的周长的最小值为 . 12.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角,得到曲线.若对于每一个旋转角,曲线都是一个函数的图象,则的最大值为 (结果用反三角函数表示). 二、选择题(本大题共有4小题,满分20分,每题5分) 13.已知直线和直线,则当与间的距离最短时的值为 A.1 B. C. D.2 14.若直线被圆所截得的弦长为,则实数为 A.0或4 B.0或3 C.或6 D.或 15.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为 A.3 B.2 C. D. 16.在平面直角坐标系中,,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为 A. B. C. D. 三、解答题(本大题共5题,满分76分) 17.在中,三个顶点的坐标分别为,,. (1)求直线的方程; (2)求边上的高所在直线的方程; (3)求的平分线所在直线的方程. 18.已知点,,动点满足. (1)求动点的轨迹的方程; (2)直线经过点且与曲线只有一个公共点,求直线的方程. 19.已知点及圆. (1)设过点的直线与圆交于、两点,当时,求以线段为直径的圆的方程; (2)设直线与圆交于,两点,问是否存在实数,使得过点的直线垂直平分弦?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. 20.已知圆和定点,由圆外一点向圆引切线,切点为,且满足. (1)求实数、间满足的等量关系; (2)求线段长的最小值; (3)若以为圆心所作的圆与圆有公共点,试求半径取最小值时圆的方程. 21.已知直线和点,点到直线的有向距离用如下方法规定:若,,若,. (1)已知直线,直线,求原点到直线的有向距离; (2)已知点和点,是否存在通过点的直线,使得?如果存在,求出所有这样的直线,如果不存在,说明理由; (3)设直线,问是否存在实数,使得对任意的参数都有:点到的有向距离满足?如果满足,求出所有满足条件的实数;如果不存在,请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高二上10月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.直线经过点，且倾斜角为，则直线的方程为　　． 【答案】 2.方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　． 【解析】把方程配方得，因为方程表示一个圆， 则，解得或． 3.两条直线与的交点在曲线上，则实数　　． 【解析】由，解得． 因为两直线与的交点在曲线上， 所以，化为，解得或． 4.若直线与直线平行，则实数的值为　　． 【解析】由得，解得或2， 经过验证时，两条直线方程都为，重合．所以． 5.经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　． 【解析】当直线经过原点时，设方程为， 因为直线经过点，所以，解得， 此时的直线方程为，即； 当直线不经过原点时，设方程为， 将点代入，得，解得，此时的直线方程为． 综上所述，满足条件的直线方程为或． 6.已知点是圆外一点，则直线与圆的位置关系为　　． 【解析】因为点是圆外一点，所以， 圆心到直线直线的距离，故相交. 7.平面直角坐标系内，点，点到直线的距离分别为，则满足条件的直线有　　条. 【解析】把直线看成以为圆心，1为半径的圆的切线，同时是以为圆心，2 为半径的圆的切线，由于两圆圆心距，所以两圆外离， 公切线有4条，所以满足条件的直线有4条. 8.已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为　　． 【解析】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴 右侧的部分）．如图，、、， 当直线经过点时，，得； 当直线经过点、点时，，得； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，得， 得或（舍去）， 故要求的实数的范围为． 9.圆和圆交于，两点，则弦的垂直平分线的方程是　　． 【解析】化圆为，则圆的圆心坐标为， 化圆为，则圆