第05讲 正多边形与圆-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）

第05讲 正多边形与圆 目录 考点一：正多边形的中心角 考点二：正多边形和圆 考点三：弧长与扇形面积 【基础知识】 一、正多边形的相关概念 1.正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形 2.正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 3.正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 每一个中心角==它的每一个外角 4.正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边是圆的外切正多边形. 5.正多边形的画法 （1）用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. （2）用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形。 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。　 ②正六、三、十二边形的作法。 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 二、正多边形的相关计算 设正n边形的半径长为 Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形 OAB，通过解直角三角形 OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正 n边形的周长及面积. 【考点剖析】 考点一：正多边形的中心角 一、单选题 1．（2022·上海·校联考模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2022秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）正十边形的中心角等于______度． 3．（2022秋·上海金山·九年级校考阶段练习）正五边形的中心角的度数是_____． 4．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___． 5．（2022·上海·统考模拟预测）一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为____ 6．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是_____． 7．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______． 考点二：正多边形和圆 一、单选题 1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（    ） A．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形 2．（2022·上海黄浦·统考二模）下列命题中，真命题是（    ） A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形 B．正六边形的每一个外角都等于中心角 C．正六边形每条对角线都相等 D．正六边形的边心距等于边长的一半 3．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是（） A． B． C． D． 4．（2022秋·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，正六边形AB