第02讲 垂径定理-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）

第02讲 垂径定理 目录 考点一：垂径定理 考点二：垂径定理的应用 【基础知识】 一．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 二．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 【考点剖析】 一．垂径定理（共16小题） 1．（2021春•徐汇区月考）过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长为　 　cm． 2．（2022•浦东新区校级模拟）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为 　 　cm． 3．（2022•杨浦区三模）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的距离是　 　． 4．（2022春•徐汇区期中）已知正三角形ABC的弦心距为a，那么△ABC的周长是 　 　.（用含a的式子表示）． 5．（2021春•徐汇区校级月考）在⊙O中，弦AB的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝　 　． 6．（2022春•长宁区校级期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD＝4，AB＝16，那么OC＝　 　． 7．（2022•浦东新区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 8．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　． 9．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D．已知点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），则点D的坐标为　 　． 10．（2022•松江区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　 　． 11．（2022春•浦东新区校级期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　 　度． 12．（2022春•浦东新区校级期中）如图，圆O经过平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形ABCD的外部，tan∠DAB＝，D为弧AB的中点，⊙O的半径为5，求平行四边形的面积． 13．（2020•普陀区二模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r． （1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长； （2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y； （3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由． 14．（2021•浦东新区模拟）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长． 15．（2022春•杨浦区校级月考）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝2，ED＝6，求⊙O的半径长． 16．（2022•嘉定区校级模拟）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若tan∠C＝，求弦MN的长． 二．垂径定理的应用（共5小题） 17．（2019秋•青浦区校级月考）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB是水底，弦CD表示水面，EF过圆心O且EF⊥AB，EF＝AB＝24米，CD∥AB． （1）当水深GF为19米时，求此时水面CD的宽； （2）若水面下降，当水面CD的宽为12米时，求此时水深． 18．（2022春•松江区校级期中）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度AB为80cm，凹坑最大深度CD为20cm，由此可算得铲车轮胎半径为