专题04 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

 指数函数与对数函数（公式、定理、结论图表） 一．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 二．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 思考：()n中实数a的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0. 三．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 思考：在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0? 提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值． ②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0. 四．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 五．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 六．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 七．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 思考1：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势． 思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律． 八．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 九．常用对数与自然对数 十．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 思考：为什么零和负数没有对数？ 提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 十一．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ 提示：不一定． 十二．对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 十三．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式． 十四．对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？ 提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降． 当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 十五．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． 十六、三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：