2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与面积问题

中考专题训练——二次函数与面积问题 1.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(2m,m),翻折矩形OABC,使点A与点C重合,得到折痕DE.设点B的对应点为F,折痕DE所在直线与y轴相交于点G,经过点C、F、D的抛物线为. (1)求点D的坐标(用含m的式子表示). (2)若点G的坐标为(0,-3),求该抛物线的解析式. (3)在(2)的条件下,设线段CD的中点为M,在线段CD上方的抛物线上是否存在点P,使PM=EA?若存在,直接写出P的坐标,若不存在,说明理由. 2.如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0). (1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式. (2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上一点,求△AMC的面积最大时点M的坐标及S△AMC的最大值. (3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 3.已知抛物线(a>0)与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上一点,且PB=AB,∠PBA=120°,如图所示. (1)求抛物线的解析式. (2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点,且在曲线PA上移动. ①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时,是否存在点M使△APM的面积为?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由. ②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时,求的最大值及取得最大值时点M的坐标. 4.已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求出点C,D的坐标,并判断△BCD的形状; (3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式. 5.如图,已知抛物线(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C,且OC=OB. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标; (3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标. 6.如图,抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A(﹣6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G(﹣2,3). (1)求抛物线的表达式. (2)点P是线段OA上一动点,过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q,设△CPQ的面积为S,求S的最大值. (3)若点B是抛物线与x轴的另一定点,点D、M在线段AB上,点N在线段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分线,求点M的坐标. 7.如图,抛物线交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点P在抛物线上,且,求点P的坐标; (3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. 8.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点. (1)∠OBA= °; (2)求抛物线的函数表达式; (3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个? 9.已知直线l1:y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,且与双曲线交于点C(1,a). (1)试确定双曲线的函数表达式; (2)将l1沿y轴翻折后,得到l2,画出l2的图象,并求出l2的函数表达式; (3)在(2)的条件下,点P是线段AC上点(不包括端点),过点P作x轴的平行线,分别交l2于点M,交双曲线于点N,求S△AMN的取值范围. 10.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分. (1)求过A,B,E三点的抛物线的解析式; (2)求证:四边