推理论证能力讲义-2023届高三数学二轮专题复习

能力专题13 推理论证能力 探究1：代数推理证明 【典例剖析】 例1. (2022·山东省烟台市·月考) 设函数，． 若直线是曲线的一条切线，求的值； 证明：当时，； ，是自然对数的底数， 选题意图: 函数与导数是历年高考的重点和难点，解答题常出现在压轴题位置，主要考查学生的逻辑推理和数学运算及分析问题解决问题的能力.本题考查导数的几何意义，利用导数解不等式，其中的不等式证明部分主要运用分析法，由果索因，将函数、导数、基本不等式进行有机融合，推理论证能力的考查得到较好体现. 思维引导：设切点为，由导数的几何意义求解，写出切点坐标，代入直线，求出的值； 要证，即证，设，，由导数证得，即得证； 要证，，先证，再证，即可证明． 【变式训练】 练1-1. (2022·湖北省武汉·联考) 已知，为自然对数的底数． 讨论函数的单调性； 若函数有两个不同零点，求证：． 练1-2. (2022·福建·模拟) 如图，已知双曲线，曲线是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”． 在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程不要求验证； 设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”； 求证：圆内的点都不是“型点”． 【规律方法】 推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.解决代数推理论证类问题涉及函数、方程、不等式等，常用的方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、演绎法等. 探究2：几何推理论证 【典例剖析】 例2. (2022·浙江省·月考) 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，求证： 平面； 平面． 选题意图: 每年高考试卷都有一道立体几何解答题，主要采取“论证+计算”相结合的模式，其中的论证部分常利用定义、公理、定理等证明空间点线面位置关系，重在考查推理论证能力.本题以直三棱柱为命题载体，考查空间线面平行和线面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定和性质定理是解决问题的关键，推理论证过程贯穿始终，注意推理过程的规范性和严密性. 思维引导: 连接交于点，得，由线面平行的判断得证； 设与交于点，由垂直的转化为线面垂直的判定证明． 【变式训练】 练2-1. (2022·山东省·联考) 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，是线段的中点． 求证：平面 若平面平面，平面平面，试分析与的位置关系，并证明你的结论． 练2-2. (2022·全国·联考) 如图所示，四边形是正方形，点，满足，，将沿折起，顶点与分别折到，，折叠时二面角为钝角． 证明：平面平面； 当二面角等于时，判断直线和直线是否异面，并求它们夹角的余弦值． 【规律方法】 代数推理与几何推理是学习数学的两大重点领域，二者侧重知识点不同，根据解题的需要，二者可以相互转化（如用空间向量解决立体几何问题），培养推理论证能力的途径： (1) 明确对基本事实、定理、概念的理解，为推理论证打基础； (2) 课堂上积极创设问题情境，启发思考，诱发大胆猜想； (3) 精心编制例题，让学生牢固掌握推理论证的方法与技巧； (4) 规范数学表达，培养推理论的严密性、条理性. 能力专题13 推理论证能力—答案与解析 例1.【解析】解：， 设切点为，则，即， 所以切点坐标为， 代入直线，得． 要证，即证， 设，， 则， 所以在上单调递减． 所以，即得证， 所以当时，； 要证，，即证， 先证，即证， 设，则，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以得证． 再证，即证， 设， 由于 ， 所以成立，即得证． 综上，，得证． 练1-1.【解析】解：，，， 当时，在上是增函数，在上是减函数 当，在上是减函数，在上是增函数． 证明：有两个不同零点，，则，， 因此，即． 要证，只要证明，即证， 不妨设，记，则，，因此只要证明，即． 记，，令，则， 当时，，所以函数在上递增，则， 即，则在上单调递增，， 即成立，．  练1-2.【解析】解：（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式： 或，其中． 证明：因为直线与有公共点， 所以方程组有实数解，因此，得， 若原点是“型点”，则存在过原点的直线与、都有公共点， 考虑过原点与有公共点的直线或， 显然直线与无公共点， 如果直线为，则由方程组， 得，矛盾， 所以直线与也无公共点， 因此原点不是“型点”． 证明：记圆：，取圆内的一点， 设有经过的直线与，都有公共点，显然不与轴垂直，故设， 若，由于圆夹在两组平行线与之间， 因此圆也夹在直线与之间， 从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以， 因为与有公共点，所以方程组有实数解， 得， 因为，所以，