取对数法讲义-2023届高三数学二轮专题复习

专题7 取对数法 探究1：解指数方程 【典例剖析】 例1.(2022·辽宁省模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 选题意图: 本题考查在新定义下解指数方程，关键是利用取对数法化出同构式，考查学生的观察能力、转化与化归能力，数学抽象与数学运算核心素养. 思维引导：利用对数运算将已知两个方程变形可得和，由同构方程的定义可求得，，从而可求得的值． 【变式训练】 练1-1(2022·湖北省月考)对任意的，不等式恒成立，则的范围为          ． 练1-2(2022·福建省模拟)年月日，乌克兰普里皮亚季邻近的切尔诺贝利核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物为锶，它每年的衰减率约为专家估计，当锶含量减少至初始含量的约倍时，可认为该次核泄漏对自然环境的影响已经消除，这一过程约持续参考数据：，(    ) A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【规律方法】 1.等式两边取对数的原则：当等式一边出现指数的时候，等式两边可以同时取对数.取对数运算可将乘法运算或除法降格为加法或减法运算，也可以将根式、幂函数、指数函数转化为乘除运算，一般在采取这一策略之后会让解题更加简单方便. 注意：等式两边必须都是正数时，才能同时取对数. 2.常见的四种指数方程的一般解法： （1）方程的解法（对数运算法则）： （2）方程的解法（指数运算法则）： （3）方程的解法（取对数法）： 方程两边同时取对数： （4）方程的解法（换元法）： 令,注意新变量范围，将原方程化为关于的方程，即可求解. 探究2：构造数列 【典例剖析】 例2.(2021·湖南省联考)已知数列，，则(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题有取对数法求数列通项公式的典型特征：递推公式为乘方形式.考查学生能对表达式观察整理，数学解题方法的灵活选择和应用，转化化归和数学运算等几大能力. 思维引导：由已知再根据递推公式可得，，观察整理等式再通过对数计算可知数列是等比数列，最后根据等比数列的通项公式即可求解． 【变式训练】 练2-1(2021·江苏省月考)在正项数列中，，，． 求数列的通项公式； 若，，求数列的前项积． 练2-2(2021·河北省月考)已知数列，，． 求； 求． 【规律方法】 递推关系式如的通项公式求法： ①若，则等式两边取常用对数或自然对数，化为， 得到首项为，公比为的等比数列，所以. ②若，则等式两边取以为对数，化为，然后采用构造法构造新的等比数列求解. 探究3：解复杂不等式 【典例剖析】 例3.( 2022·辽宁省模拟)已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为          ． 选题意图：本题中同构法构造函数，参量分离法，取对数法等方法同时出现，一步步转化陌生条件为熟悉.取对数法后可将参数易分离，体现出此方法的重要性，考查学生的观察能力和知识综合应用能力，转化化归能力，数学抽象和数学运算的核心素养. 思维引导：观察不等式并化简，等价于，恒成立，由同构式令，问题转化为，，利用的单调性，得出，即，令，利用导数求出，即可求出结果． 【变式训练】 练3-1(2021·福建省联考)设，都为正数，为自然对数的底数，若，则(    ) A. B. C. D. 练3-2(2022·广东省月考)已知函数为自然对数的底数，当时，函数在点处的切线方程为          若对恒成立，则实数的最大值为          ． 【规律方法】 1.用取对数法可以使要证明的不等式转化为另一个易证明的等价不等式，从而达到所要证明不等式的目的. 2.解不等式两边取对数需满足的条件： （1）首先等式两边都得大于零， （2）如果对数底数小于1,则不等号方向变化， （3）如果对数的底数大于1,则不等号方向不变. 专题7 取对数法——答案解析 例1【解析】对两边取自然对数，得， 对两边取自然对数，得， 即， 因为方程为两个同构方程，所以，解得：， 设，，则，所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以， 所以． 故选A． 练1-1【解析】由题意得 设，则， 设，则在区间上单调递增， ， 在区间上有且仅有个零点， 设为的零点，即，即， 当时，，故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增， 当且仅当时等号成立， ． 练1-2【解析】设初始含量为，则，即， 两边取对数得． 故选C． 例2【解析】由可得，， 根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，， 在等式两边取对数可得， 令，则，可得，则， 所以，数列