配凑法讲义-2023届高三数学二轮专题复习

专题4 配凑法 探究1：解决最值问题 【典例剖析】 例1.(2022·江苏省模拟)已知正实数满足，则的最大值为          ；的最小值为          ． 选题意图: 观察特征，配凑出满足基本不等式的数量关系式是解题关键；一个确定的条件，两个相似的问题，对基础知识进行了巩固和应用. 思维引导：由，得出，代入并利用基本不等式即可求出其最大值；把已知式子化为，进行"1"的代换，利用基本不等式即可求出的最小值． 【变式训练】 练1-1(2022·广东省月考·多选)三元均值不等式：“当，，均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 练1-2(2022·福建省月考)已知，若恒成立，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2022·安徽省联考)已知正实数，，，若，则的最大值为          ． 【规律方法】 用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或分类讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性. 答题思路1：“配系数”使和式为定值 系数配凑法大多用于形如的积的形式，通过系数配凑，使,且与之和为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决. 答题思路2：“配项”使积式为定值 （1）拆项配凑法大多用于形如的和的形式，通过拆项，使,若相应项的平方和或积为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决; （2）添项配凑大多用于形如的形式，若为定值，通过添加项，使,最后利用基本不等式即可; （3） 有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积. 探究2：解决化简求值问题 【典例剖析】 例2.(2022·四川省月考)已知． 求的值； 求的值． 选题意图：本题的关键是将要求的角配凑出和已知角的关系，进而选择正确的公式进行求解，考查学生的逻辑推理能力和运算能力. 思维引导：，结合两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系可得解； ，结合诱导公式与二倍角公式，可得解． 【变式训练】 练2-1(2022·陕西省联考)          ． 练2-2(2022·湖北省月考)已知，，则的值等于(    ) A. B. C. D. 练2-3(2022·湖北省联考)若，则(    ) A. B. C. D. 【规律方法】 配凑法解决化简求值问题的常用策略： 1. 把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件 2. 把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论 3. 把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式 探究3：构造数列 【典例剖析】 例3.( 2022·江苏省模拟)已知首项为的正项数列满足若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题两次配凑构造数列，考查了学生的知识积累和应用能力，渗透了逻辑推理和数学运算素养. 思维引导：式子变形可得，令，则，两边取对数得，求出，从而求得． 【变式训练】 练3-1(2022·福建省模拟·多选)已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 练3-2(2022·山东省联考)已知数列满足，，． 证明：为等差数列；    求数列的前项和． 【规律方法】 应用配凑法构造数列的常见类型： 1.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 2.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 3.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等差数列，先求出新数列的通项，进而可求. 4.对于形如的数列，配凑成的形式，令，即，再配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求. 注意： 1.等都是常数,但是注意不能为1,为1的时候就会变为等差数列或者累加法求解; 2.待定系数法求出之后, 为了避免出错, 尽量把以什么为首项, 什么为公差或公比写出来; 3.还有一些不常见的构造数列, 碰到的话要大胆猜测,仔细验证. 专题4 配凑法——答案解析 例1【解析】因为正实数，满足，所以，由得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为；． 练1-1【解析】对于：，，当且仅当时取等号，故A正确， 对于：，，， 当且仅当时取等号，故B错误， 对于：，，当且仅当时取等号，故C正确， 对于：，，