分离法讲义-2023届高三数学二轮专题复习

专题3 分离法 探究1：解决不等式恒成立或有解问题 【典例剖析】 例1.(2022· 江西省模拟)已知函数，为实数，若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题中同时出现了恒成立和存在，考查了分离参数法的难点：1.明确哪个字母是参数，哪个字母是变量；2.同一个字母在不同情况下可以是变量，也可以是参数. 思维引导：对任意恒成立，即，求导，分和研究函数的单调性，得到，进而将将题干中存在性问题转化为，再构造函数，利用导数求其最小值即可． 【变式训练】 练1-1(2022·江苏省联考)若关于的不等式对恒成立，则整数的最大值为(    ) A. B. C. D. 练1-2(2022·江苏省模拟)已知数列的前项和为，且，，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是          ． 【规律方法】 1.利用分离参数法来确定不等式恒成立或有解问题中参数的取值范围，有如下三个步骤： 第一步：参数与变量分离，化为或； 第二步：求或，； 第三步：解或(). 2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点： ①函数是否可以分离参数， ②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。 3.常见单变量不等式问题的最值转化： （1）,则恒成立; （2）,则恒成立; （3）,则恒成立; （4）,则恒成立; （5）,则恒成立.令,即可转化为,则恒成立，则. 特别说明:，恒成立不可以转化为：. 理由:和自变量都是,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解. 4.常见双变量不等式问题的最值转化： （1）,,; （2）,,; （3）,; （4）,; （5）,,的值域是的值域的子集. （6）,,的值域与的值域的交集不是空集. 探究2：解决函数零点、方程根的问题 【典例剖析】 例2.( 2022·河北省模拟)已知函数图象上存在点，函数为自然对数的底数图象上存在点，且，关于点对称，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题考查了分离参数法解决函数零点、方程根的关键:充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后应用函数知识求值域. 思维引导：找到函数的图象关于点对称的函数，于是问题转化为方程，即有解，利用导数研究函数的单调性及值域，根据方程有解的条件求解即可． 【变式训练】 练2-1(2022·福建省模拟)已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为          ． 练2-2(2022·广东省月考)已知 讨论的单调区间； ，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围． 【规律方法】 利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题， （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题 （3）分离参数法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图像的交点问题. 专题3 分离法——答案解析 例1【解析】函数的导数， 若，可得，函数为增函数，当，，不满足对任意恒成立； 若，由，得，则， ， 若对任意恒成立，则恒成立， 若存在实数，使得成立，则，，， 令，则． 当时，，当时，，则．， 则实数的取值范围是． 故选：． 练1-1【解析】由题意分离变量可得对恒成立， 令，，则， 令，，则， 在上单调递增，且，， 存在唯一的，使， 可得，，在单调递减；，，在单调递增， ，可得整数的最大取值是． 故选：C. 练1-2【解析】因为，故， 两式相减得：， 即，又因为，所以，又， 故数列是为首项，为公差的等差数列，所以 由不等式对任意的恒成立， 故，对任意的恒成立，即， 当为奇数时，得对任意的恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立．故，解得 当为偶数时，得，对任意的恒成立， 令，当时，取最小值，故， 综上的取值范围是． 例2【解析】因为函数与函数的图象关于点对称， 由题意可知：方程有解， 显然，所以问题转化为有解， 设，则为增函数且， 所以在上单调递减，在上单调递增，且时，， 所以， 所以实数的取值范围是，， 故选：． 练2-1【解析】因为，所以，所以函数为偶函数， 又，所以在上有两个零点， 即有两个不同的正实数解，即， 令，则，故在上递减，上递增， 故． 又，且，，从而， 故答案为： 练2-2【解析】函数的定义域为：， ，令，即，则 当时，即， 此时恒成立，则函数在上单调递增； 当时，即 的两个根为，且 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 当时，即 的两个根为，且 此时恒成立