换元法讲义-2023届高三数学二轮专题复习

专题2 换元法 探究1：整体换元法 【典例剖析】 例1(2022·安徽省模拟)设函数，若在时有零点，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 选题意图: 本题一要理解函数新定义，二要能对表达式正确化简，三要会进行适当的转化；重在考查面对一个复杂的数学式子时，我们一定要尝试着将式子看成一个整体，通过换元，达到简化问题的目的.渗透数学抽象、数学运算等核心素养. 思维引导：由条件得在[1,+时有零点，令整体换元后，等价于在上有解，即，根据函数的单调性求出的范围即可． 【变式训练】 练1-1(2022·湖南省模拟)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则曲线在处的曲率为          正弦曲线曲率的平方的最大值为          ． 练1-2(2022·福建省联考)设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练1-3(2022·江西省月考）已知定义在上的函数，若，，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【规律方法】 对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,常将一个或几个式子分别看成整体,用一个或几个新“元”代换它们,使得以新元为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果. 探究2：三角换元法 【典例剖析】 例2.(2022·辽宁省期末)已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题考查椭圆、双曲线的标准方程和性质，利用余弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，将解三角形与平面几何等相关知识融合在一起，让学生形成一个整体法认知结构，也深刻体现了三角换元在解题中的便捷性，渗透了直观想象、数学运算的核心素养. 思维引导：设点，结合椭圆与双曲线的定义得到，又由余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果． 【变式训练】 练2-1(2022·福建省月考)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2-2(2022·辽宁省联考)黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”：的左右顶点分别为、，“优美椭圆”上动点异于椭圆的左右顶点，设直线、的斜率分别为、，则          ． 【规律方法】 圆锥曲线有一个特点，就是曲线上的点不易于直接表达（抛物线除外），例如椭圆，为了表示椭圆上一点，需要引入两个参数，此时会涉及到两个麻烦事：①开根号，②定符号，这样一来，会给后面的处理带来很多麻烦，而三角函数的出现正好弥补了这样的问题，因为三角函数本身就有降次和升次的功能，利用三角恒等式,可以自然类比到椭圆中,那么椭圆上的点就可以表达成，此时只含有一个参数，成功实现了减元、去根号和定符号的效果。 探究3：比值换元法 【典例剖析】 例3.( 2022·湖北省模拟)函数有两个零点，，下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 选题意图：本题涉及函数的图象与性质，函数的零点及其关系判断等综合知识，考查了学生的创新型思维，体现了数形结合，转化与化归，分类讨论、函数与方程四大思想，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养，在其中体现了比值换元法的重要作用：可将双变量问题转化为单变量问题. 思维引导：先将问题转化为与有两个交点，数形结合，可判断出A选项，再由B、C、D选项关系构造函数判断其正确性. 【变式训练】 练3-1(2022·海南省期末)若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为          ． 练3-2(2022·河北省月考)若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为          ． 练3-3(2021·天津市月考)已知，则的最大值是          ． 【规律方法】 对于多元函数,我们称为双变量，一般来说，我们无法对其进行求导，可以采用“先转换后构造”的解题策略：同除变形令,构造函数,将含二元变量的不等式转化为一元变量的函数，以导数为工具证明. 专题2 换元法——答案解析 例1【解析】，，则， 则， 设，当时，函数为增函数，则， 若在有零点，即在上有解，即，即， 函数在上单调递增，则，即．因此，实数的取值范围是 故本题选：． 练1-1【解析】由题意得，，则，则，