构造法讲义-2023届高三数学二轮专题复习

专题1 构造法 探究1：由条件直接构造 【典例剖析】 例1.(2022·新高考Ⅰ卷)设，，，则(    ) A. B. C. D. 选题意图: 本题是2022年新高考Ⅰ卷的第7题，作差比较，再构造函数利用导数研究其单调性，得到大小关系.本题的关键是两次作差，两次构造，其中还贯穿着取对数法，考查学生的观察能力、知识应用能力和转化与化归能力，创造性思维，数学抽象和数学运算的核心素养. 思维引导：先将，取对数后，作差、构造函数，利用导数研究单调性比较，，再构造函数，利用导数研究单调性比较，． 【变式训练】 练1-1（2021·全国乙卷（理））设，，，则(    ) A. B. C. D. 练1-2(2021·全国强基卷)已知是不超过的正整数且的个位数为，则满足条件的的个数为          ． 练1-3(2022·湖北省模拟)某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功其中第一关是闯关答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案： 方案一：答题道，至少有两道答对 方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对． 方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关假设程序员甲和程序员乙答对这道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二． 求甲和乙各自通过第一关的概率 设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得并说明理由． 练1-4(2022·福建省月考)如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，使得，，，重合于一点，记为，得到四棱锥当底面的边长变化时，四棱锥的体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 【规律方法】 1.在解决有关不等式、方程及最值之类问题时，联系已知条件和结论，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的性质，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键点也是难点； 2.构造函数时往往从两方面着手： ①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”； ②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 探究2：找原函数构造 【典例剖析】 例2.(2022·安徽省联考)已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，， ，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 选题意图: 本题的关键是根据题意构造准确的原函数，利用导数研究函数的单调性解不等式，注重对学生观察能力、转化化归等能力的考查，强调问题本质与数学思维. 思维引导：令，根据导数以及题意知单调递增，原不等式等价于，利用单调性即可求解． 【变式训练】 练2-1(2022·福建省联考·多选)设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是(    ) A. 在单调递增 B. 在单调递增 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 练2-2(2022·浙江省联考·多选)定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则(    ) A. B. C. D. 练2-3( 2022·河北省月考)设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【规律方法】 导数问题中已知某个含的不等式，可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．常用构造形式有、，这类形式是对，型导数的推广及应用，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型. 几种导数的常见构造： 1．对于，构造 若遇到，构造 2．对于，构造 3．对于，构造 4．对于，构造 5．对于，构造 6．对于，构造 拓展：1. 对于，构造 2. 对于，构造 3. 对于，构造 4. 对于，构造 探究3：“同构法”构造 【典例剖析】 例3.(2022·福建省模拟)已知函数，若恒成立，则的最小值是          ． 选题意图：福建省一模试题，以不等式恒成立为问题点，考查了同构法应用最典型的特征：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可比较大小或解不等式.渗透了学生的观察能力、知识综合应用、转化与化归能力，直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养. 思维引导：对不等式进行整理变形为，由其结构特征，构造函数，根据其单调性，对原不等式进行转化求解即可． 【变式训练】 练3-1(2022·河北省月考)若，则(    ) A. B. C. D. 练