不等式选讲 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 不等式选讲 （原卷+答案） 1．不等式a＋b＋c≥对于x∈R恒成立． (1)求证：a2＋b2＋c2≥； (2)求证： ＋＋≥. 2．已知函数f(x)＝|2x＋1|. (1)求不等式f(x)<x＋2的解集M； (2)若a∉M，b∈M，证明：|1－ab|≤|a－b|. 3．已知函数f(x)＝＋. (1)若a＝1，求f(x)>5的解集； (2)若关于x的不等式f(x)<有解，求实数m的取值范围． 4．已知函数f(x)＝. (1)当a＝4时，求不等式f(x)<6的解集； (2)若f(x)≥a2－对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围． 5.已知正数x，y满足x＋y＝1.证明： (1)＋≥3； (2)＋≤. 6．已知函数f(x)＝＋，m≠0. (1)若m＝1，f(x)<7，求实数x的取值范围； (2)求证：∀x∈R，f(x)≥4. 参考答案 1．解析：（1）证明：因为a＋b＋c≥－对于x∈R恒成立， 又因为－≤＝1，所以a＋b＋c≥1， 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）， 所以3（a2＋b2＋c2）≥（a＋b＋c）2≥1，所以a2＋b2＋c2≥. （2）证明：因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以≥（a＋b）， 同理可得：≥（b＋c），≥（c＋a）， 所以＋＋≥（a＋b＋c）， 所以＋＋≥. 2．解析：（1）因为f（x）<x＋2，即|2x＋1|<x＋2，所以，即－1<x<1， 所以不等式的解集M为{x|－1<x<1}． （2）方法一　∵a∉M，b∈M，∴a2≥1，b2<1. ∵|1－ab|2－|a－b|2＝a2b2－a2－b2＋1＝（a2－1）（b2－1）≤0，∴|1－ab|≤|a－b|. 方法二　∵a∉M，b∈M，∴a2≥1，b2<1. ∵|1－ab|2－|a－b|2＝（1－ab＋a－b）（1－ab－a＋b）＝（1＋a）（1－b）（1－a）（1＋b）＝（1－a2）（1－b2）≤0，∴|1－ab|≤|a－b|. 3．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝＋＝＝， 当x≤－2时，由－2x－1>5，解得x<－3，当x>1时，由2x＋1>5，解得x>2. 故f（x）>5的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）. （2）当x∈R时，f（x）＝＋≥＝3恒成立，故f（x）min＝3，又f（x）<，即3<，故0<m<， 所以m的取值范围为. 4．解析：（1）当a＝4时，f（x）<6化为＋<6， 当x<－2时，不等式化为－2x－4－（x－1）<6，解得－3<x<－2； 当－2≤x≤1时，不等式化为2x＋4－（x－1）<6，解得－2≤x<1； 当x>1时，不等式化为2x＋4＋x－1<6，无解， 综上所述：当a＝4时，不等式f（x）<6的解集为（—3，1）. （2）由f（x）≥a2－|x－1|得a2≤， 因为|2x＋a2x－2（2x＋a）－（2x－2）a＋2|（当且仅当（2x＋a）（2x－2）≤0时，等号成立），又因为a2≤对任意的x∈R恒成立，所以a2≤， 当a＋2≤0，即a≤－2时，有a2≤－a－2，即a2＋a＋2≤0，此不等式无解； 当a＋2>0，即a>－2时，有a2≤a＋2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2. 综上所述：a的取值范围为－1≤a≤2. 5．证明：（1）正数x，y满足x＋y＝1，所以0<x<1，0<y<1， 所以＋≥＝3， 当且仅当（x－1）（y－3）>0等号成立， 即＋≥3得证． （2）正数x，y满足x＋y＝1，由柯西不等式可得 ＋＝1×＋1×≤＝， 当且仅当x＋＝y＋即x＝y＝时等号成立， 即 ＋ ≤得证． 6．解析：（1）m＝1时，f（x）＝＋＝ ， 故当x<－4时，－2x－3<7，所以－5<x<－4； 当－4≤x≤1时，显然成立， 当x>1时，2x＋3<7，解得1<x<2， 综上，不等式f（x）<7的解集为（－5，2）. （2）证明：f（x）＝＋≥＝＝＋≥2 ＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $