上海市奉贤中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市奉贤中学2021-2022年高二下期中 数学试卷 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题） 1.已知等差数列中，，则数列的通项公式是　 　． 2.9与1的等比中项为　　 ． 3.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是　　 ． 4.已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式　　 ． 5.已知，则　 　． 6.已知，试用表示经过两点直线的倾斜角　 　． 7.椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则　　 ． 8.如图一垛正方体，若共有层，其总个数是　 　． 9.数列满足，当　 　时，最小. 10.在平面直角坐标系中，已知直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为　 　． 11.在抛物线上，到的距离是到的距离是，求的最小值　 　． 12.四次函数的四个根组成公差是2的等差数列，则的所有根中最大根与最小根的差是　　 ． 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题） 13.用数学归纳法证明为正整数)，在验证等式成立时，等式左边为　　 A．1 B． C． D． 14.已知物体做直线运动的方程为，则表示的意义是　　 A．经过后物体向前走了 B．物体在前4秒内的平均速度为 C．物体在第4秒内向前走了 D．物体在第4秒末的瞬时速度为 15.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)　　 A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 16.已知，且，则　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17.设函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(其中为自 然对数的底数) （2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值. 18.已知正数列的前项和满足： （1）求证：是一个定值； （2）若数列是一个严格增数列，求的取值范围. 19.某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童.此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元). （1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余? 20.中心在原点的椭圆的两个焦点是、，且、与椭圆短轴一个顶点构成边长为2的正三角形。直线与椭圆相切于点，过作直线的垂线与轴交于，直线与轴交于，点关于轴的对称点是. （1）求椭圆的方程； （2）求； （3）求证：、、、、、六点在同一个圆上。 21.已知各项为正数的数列的首项是1，满足：，数列的前项项和是. （1）判断数列单调性，并说明理由； （2）求数列的通项公式； （3）表示正整数的各个数位上的数字之和，如， 求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市奉贤中学2021-2022年高二下期中 数学试卷 一、填空题 1.已知等差数列中，，则数列的通项公式是　 　． 【答案】 2.9与1的等比中项为　　 ． 【答案】 3.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是　　 ． 【解析】，在点处的切线方程是， 即． 4.已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式　　 ． 【解析】在椭圆中，，，． 因为离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点， 所以双曲线中，，，解得，， 所求双曲线的方程为． 5.已知，则　 　． 【解析】． 6.已知，试用表示经过两点直线的倾斜角　 　． 【解析】设直线的倾斜角为，则， 又，所以． 7.椭圆上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则　　 ． 【解析】因为椭圆的方程为，所以其焦点在轴，且短半轴， 设半焦距为，因为一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1， 所以，而，所以，所以． 8.如图一垛正方体，若共有层，其总个数是　 　． 【解析】其总个数是． 9.数列满足，当　 　时，最小. 【解析】令，得，又，故当或8时，最小． 10.在平面直角坐标系中，已知直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，且，则实数的取值范围为　 　． 【解析】设，圆的圆心为，半径； 又，则，，， 则，又，则， 则，则， 若直线