专题1.7 二次根式的加减（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题 1.7 二次根式的加减（知识讲解） 【学习目标】 1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算； 2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 特别说明： 　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 特别说明： 　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； 　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 要点二、二次根式的加减 1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其 中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 特别说明： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 　　3)合并同类二次根式. 要点三、二次根式的混合运算 　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 特别说明： 　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； 　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 【典型例题】 类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化 1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式： ， ﹣， ， ， ﹣7． 【答案】，，是同类二次根式；，是同类二次根式； 【分析】先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 解：∵＝，﹣＝﹣3，＝2， ＝，＝﹣35， ∴、﹣、﹣7是同类二次根式， ∴、是同类二次根式； 【点拨】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 举一反三： 【变式1】若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】的值为 【分析】根据最简二次根式，同类二次根式的定义列方程求解即可． 解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 答：的值为． 【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提． 【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1) 若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2) 若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 解：(1)∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． (2)∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点拨】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 2．【阅读材料】 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简． 解：． 【理解应用】 (1)化简： ①； ②． (2)计算：． 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①根据题意分母有理化即可求解； ②根据题意分母有理化即可求解； （2）根据题意，将每一项都分母有理化，然后根据二次根式的加减进行计算即可求解． （1）解：①原式． ②原式． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键． 举一反三： 【变式1】解不等式： 【答案】 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 解： ， 即：． 【点拨】本题主要考查了求解一元一次不等式的解集和二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【变式2】计算： 【答案】 【分析】根据根式的运算法则直接计算即可得到答案． 解： ． 【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根