坐标系与参数方程强化训练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 坐标系与参数方程强化训练 （原卷+答案） 1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos ＝3，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)求C的参数方程； (2)判断l与C的位置关系． 2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点M(0，2)，求＋的值． 3．在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋8. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且＝4，求直线l的倾斜角． 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数).曲线C2的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C1，C2的极坐标方程； (2)若曲线C1，C2的交点为A，B，已知P(，－1)，求·. 5.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(取相同的单位长度)，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的参数方程为(t为参数)，曲线C1，C2相交于A、B两点，曲线C3经过伸缩变换后得到曲线C1. (1)求曲线C1的普通方程和线段AB的长度； (2)设点P是曲线C3上的一个动点，求△PAB的面积的最小值． 6．以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且P(2，－)，Q(2，)，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线C1的参数方程为(t为参数). (1)求的极坐标方程和所在圆C2的直角坐标方程； (2)已知点M的直角坐标为(0，－1)，曲线C1和圆C2相交于A，B两点，求. 参考答案 1．解析：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则ρ2＝2ρsin θ， 则其直角坐标方程为x2＋y2＝2y， 即x2＋（y－1）2＝1，圆心为（0，1），半径为1， 则圆C的参数方程为（θ为参数）. （2）因为直线l的极坐标方程为2ρcos ＝3， 则2ρ－3＝0，整理得ρcos θ＋ρsin θ－3＝0， 所以直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0， 由（1）得圆C的直角坐标方程为x2＋（y－1）2＝1，圆心为（0，1），半径为1， 则圆心（0，1）到直线l的距离为＝1， 故直线l与圆C相切． 2．解析：（1）曲线C的参数方程为（t为参数）， 转化为直角坐标方程为x2＝，可得y＝2x2； 直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，转化为直角坐标方程为x＋y－2＝0； （2）把直线l的方程换成参数方程，得（t为参数），代入x2＝. 得t2－t－2＝0，∴t1＋t2＝，t1t2＝－2，显然t1，t2异号． 由|MP|＝，|MQ|＝， ∴＋＝＋＝＝＝＝ ＝. 3．解析：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数）， 当α＝时，直线l的普通方程为x＝2. 当α≠时，直线l的普通方程为y－＝tan α（x－2）. 因为ρ2＝x2＋y2，ρ cos θ＝x， 因为ρ2＝2ρ cos θ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8. 所以C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0. （2）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0， 将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理， 得t2＋（2sin α＋2cos α）t－5＝0. 因为Δ＝（2sin α＋2cos α）2＋20>0，可设该方程的两个根为t1，t2， 则t1＋t2＝－（2sin α＋2cos α），t1t2＝－5. 所以＝＝ ＝ ＝4. 整理得（sin α＋cos α）2＝3， 故2sin （α＋）＝±. 因为0≤α<π，所以α＋＝或α＋＝， 解得α＝或α＝， 综上所述，直线l的倾斜角为或. 4．解析：（1）由曲线C1：（t为参数），消去参数t得x＋y＝0， 化成极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ＝0.化简极坐标方程为ρsin ＝0. 曲线C2：（θ为参数）消去参数θ得x2＋y2＝16.化简极坐标方程为ρ＝4. （2）由已知得P在曲线C1上，将曲线C1化为标准参数方程（t为参数）代入C2的直角坐标方程x2＋y2＝16，得2＋2＝16， 即t2－4t－12＝0，即A，B所对应的参数分别为t1，t2，所以·