2023年九年级数学中考一轮复习——二次函数

初中数学学生辅导讲义 学员姓名 年 级 初三 辅导科目 初中数学 学科教师 上课时间 知识图谱 二次函数与一元二次方程 知识精讲 一.二次函数与轴交点 1.抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点抛物线与轴相交; ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; ③没有交点抛物线与轴相离. 2.平行于轴的直线与抛物线的交点:可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根. 3.抛物线与轴两交点之间的距离.若抛物线与轴两交点为,,由于、是方程的两个根,故: . 二.二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表(以为例): 判别式: 二次函数 的图象 一元二次方程: 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实根 三点剖析 一.考点:二次函数与轴交点问题,利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题. 二.重难点: 1.二次函数与轴交点问题即当时,转化为一元二次方程; 2.在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析. 三.易错点:利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向,然后再结合函数的增减性,对称轴的位置,函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况. 二次函数与x轴交点 例题1、 抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点,则m的取值范围是( ) A.m<2 B.m>2 C.0<m≤2 D.m<﹣2 例题2、已知关于x的方程 (1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根. (2)若关于x的二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2时,求二次函数的表达式. 随练1、若二次函数与x轴有两个交点,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 随练2、如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是( ) A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0,1或2 随练3、 实数在什么范围内取值时,关于的方程的一个根大于而小于,另一个根大于而小于. 一元二次方程根的分布问题 例题1、 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 例题2、 求实数的取值范围,使关于的方程. (1)有两个实根x1,x2,且满足; (2)如果至少有一个正根,求实数的取值范围. 随练1、 已知关于x的方程. (1)讨论此方程根的情况; (2)若方程有两个整数根,求正整数k的值; (3)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3,求k的值. 二次函数代数综合 知识精讲 一.二次函数与一次函数综合 一次函数的图象与二次函数的图象的交点,由方程组的解的数目来确定: 1.方程组有两组不同的解时与有两个交点; 2.方程组只有一组解时与只有一个交点; 3.方程组无解时与没有交点. 二.二次函数与不等式综合 二次函数与不等式的联系.如下表(以为例): 判别式: 二次函数 的图象 不等式的解集 或 任意实数 无解 无解 三.二次函数与方程及代数式综合 二次函数与方程及代数式综合主要是二次函数与一元二次方程综合及二次函数与代数式的化简求值,与方程综合注意分类讨论以及整数解问题,与代数式综合的解题思想是“消元降次,整体代入”. 三点剖析 一.考点:二次函数代数综合. 二.重难点:二次函数与一次函数综合,二次函数与不等式综合,二次函数与方程及代数式综合. 三.易错点: 1.二次函数与一次函数综合中求解参数的取值范围时容易漏解或者是分不清取值范围的上限或者下限; 2.二次函数与不等式综合问题解题时不要直接硬算,要结合函数图像,利用函数的增减性来求解参数的取值范围; 3.二次函数与代数式综合除了极少数情况下可以直接计算之外,一般情况下都是通过“消元降次,整体代入”的方法来求解; 4.二次函数与方程综合注意二次项系数的分类讨论. 与不等式综合 例题1、 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值. 例题2、已知一次函数(k≠0)的图象经过,两点,二次函数(