第12章全等三角形经典几何模型学案2022-2023学年人教版八年级上学期

第12章全等三角形典型几何模型学案 类型一、与角平分线有关的基本模型 (一)三角形的内、外角平分线模型 结论:如图1,若P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=_; 如图2,若P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=_; 如图3,若P是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=_. 例1.阅读下面的材料,并解决问题. (1)已知在△ABC中,∠A=54°,图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O,请直接求出下列角度的度数. 如图1,∠O=_;如图2,∠O=_;如图3,∠O=_; 如图4,∠ABC,∠ACB的三等分线交于点O1,O2,连接O1O2,则 ∠BO2O1=_. (2)如图5,△ABC中,∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1,O2,若∠1=115°,∠2=135°,则∠A=_. 变式1.(八字模型)如图,已知∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E. (1)∠D=30°,∠B=50°,则∠E= ; (2)直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是_. (变式1图) (变式2图) 变式2.(飞镖模型)如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠P=20°,∠D=10°,则∠A的度数为_. (2) 角平分线的四种常用辅助线 ①向角的两边作垂线(构AAS全等) ②向角的平分线作垂线(构ASA全等) ③截长补短(构造SAS全等) ④作平行线(构造等腰三角形) 例2.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,AC=4,P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点,则P到AB边的距离为_. (例2图) (例3图) (例4图) (例5图) 例3.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,若A点到直线BD的距离为a,则BE的长为_. 例4. 如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且 DE∥BC.BD=7cm,CE=3cm,则DE等于_. 例5.如图,CD是△ABC的角平分线,∠A=100°,∠ACB=40°,E为CD延长线上一点,DE=AD,若BE=3,AC=5,则BC等于_. 类型二、与中点半角有关的基本模型 (三)倍长中线模型 例6.如图,△ABC中,D为BC的中点. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. (四)半角模型 例7.如图,已知△ABC是等边三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以点D为顶点作∠MDN=60°,点M、N分别在AB、AC上.如图,求证:BM+NC=MN.(只需写出主要思路) 类型三、与等腰三角形有关的基本模型 (五)手拉手模型 结论:①BE=AD ②∠APB=∠ACB ③PC平分∠BPD(等面积法) 例8.如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于点M,连接CM. (1)求证:AD=BE; (2)用含α的式子表示∠AMB的度数为_; (3)当α=60°时,取AD,BE的中点分别为点P、Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并加以证明. (六)等腰直角三角形 连接直角顶点与斜边中点构造新的等腰直角三角形 例9.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,求证:DE=DF. 变式3.在例9的条件下:(1)若AB=4,则S四边形AEDF=_; (2)连接EF,则S△DEF的最小值为_. (七)等腰直角三角形 作过直角顶点的直线的垂线构造K型全等 结论: ①DE=AD+BE ②_ ③_ 例10.如图,等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,点A、B分别在坐标轴上. (1)如图1,若C点的横坐标为5,直接写出点B的坐标_; (2)如图2,若BC交x轴于点M,过C点作CD⊥BC交y轴于D点.求证:BC﹣CD=MC; (3)如图3,若点A的坐标为(﹣4,0),点B是y轴正半轴上的一个动点,分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于P点,当点B在y轴上运动时,PB的长度是否发生改变?若不变,求出PB的值;若变化,求PB的取值范围. 变式4.(一线三等角模型)如图,在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角).如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $