2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值

中考专题训练——二次函数的最值

1．已知，关于x的二次函数，（k为正整数）.

（1）若二次函数的图象与x轴有两个交点，求k的值.

（2）若关于x的一元二次方程（k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）都在二次函数（k为正整数）图象上，求使y1≤y2≤y3成立的m的取值范围.

（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

2．如图，抛物线（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC

的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

4．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y =－2x－1与y轴交于点A，与直线y =－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．

5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

注：二次函数（≠0）的对称轴是直线=.

6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标；

(3)若点为线段上一动点，试求的最小值.

7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；

（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．

8．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上，

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M（点C除外），使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．