2.5 角平分线的性质 课件 2022-2023学年青岛版数学八年级上册

角平分线的性质 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线. o B C A 1 2 符号语言: ∵射线OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 一、学情处理 2 2 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这个点到直线的距离. O P A B 垂线段PO的长度 3 3 1、能掌握角平分线的性质. 2、能用尺规完成基本作图:作一个角的平分线. 重点:角平分线的性质. 难点:运用角平分线的性质解决实际问题 中考考点:1、利用角平分线的性质求线段的长度。 二、学习目标 在纸上任意画一个∠BAC,把它沿经过点 A 的某条直线对折,使角的两边 AB 与 AC 重合,然后把纸展开后铺平,记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? C B A D 结论:角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴. 三、精讲点拨 问题探究(一)-探究角的轴对称性 5 请同学们在刚才折出的角平分线AD上,任意取一点 P,通过尺规作图,过点 P 作 PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别是点 M,N,用圆规比较 PM 与 PN 的大小,你有什么发现?说明你的理由. 结论:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等. C B M A P N D 问题探究(二)-探索角平分线的性质 6 已知:AD是∠BAC的角平分线,点P是AD 上任意一点,PM⊥AB,PN⊥AC,∠1,∠2 求证:PM=PN C B M A P N D 1 2 证明:∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2 ∵PM⊥AB PN⊥AC ∴ ∠ AMP=∠ANP=90º 在△AMP与△ANP中 ∵ ∠ AMP=∠ANP ∠1= ∠2 AP=AP ∴ △AMP ≌ △ANP(AAS) ∴PM=PN 7 结论: 角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。 强调: (1)是点在角平分线上; (2)是这一点到角两边的距离相等。 这里“距离”指的是角平分线上的点到角两边的垂线段的长度。 用数学语言表示 ∵AD是∠BAC的平分线 PM⊥AB,PN⊥AC ∴PM=PN N P M C A B D 判断正误,并说明理由: (1)如图1,P在射线OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,则PE=PF.( ) (2)如图2,P是∠AOB的平分线OC上的一点,E、F分别在OA、OB上,则PE=PF. ( ) A O B P E F A O B P E F 图2 图3 A O B P E 图1 (3)如图3,在∠AOB的平分线OC上任取一点P, 若P到OA的距离为3cm,则P到OB的距离边为3cm.( ) 辨一辨 错误 错误 正确 练习 2、如图(1),已知∆ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠AB,C,交CD于点E,BC=5,DE=2,则∆BCE的面积等于 。 1、如图(2),在直角∆ABC中,∠C=90°,AD是∆ABC的角平分线,DC=3,则点D到AB的距离是 。 5 3 例:如图,点 P 是△ABC 的内角∠ABC 与它的外角∠ACD 的角平分线的交点. 已知点 P 到 AC 的距离为5 cm . 求点 P 到直线 AB 的距离. 解:∵点 P 是△ABC 的内角∠ABC 与它的外角∠ACD 的角平分线的交点. ∴P到AB的距离=P到BC的距离 P到AC的距离=P到CD的距离 ∴P到AB的距离=P到AC的距离 ∵P到AC的距离为5cm ∴P到AB的距离为5cm 反过来,角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? 结论:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 问题探究(三)-探索角平分线的判定 12 12 A B C ∥ ∥ 则P是 内部一 个到 的两边AB、AC距 离相等的点。作直线AP。 如果将 沿AP对折, 你发现 重合吗? 由此,你能得到什么结论? P 问题探究(三)-探索角平分线的判定 知识点3-角平分线的判定: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件: (1)点P在∠BAC的内部; (2)PM⊥AB PN⊥AC; (3)PM=PN 符号语言: ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN ∴点P在∠BAC的角平分线上 C B M A P N D 14 14 练习、如图,∠AOB=70°,QC⊥OA与C,QD⊥OB与D,若QC=QD,则∠AOQ= . 35° 例2、如图,P 是∠AOB 内部的一点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为点 E,F,且PE = PF . Q是 OP 上的任意一点, QM⊥OA, QN⊥OB,垂足分别为点 M 和 N . QM与QN 相等吗?为什么? 解:相等 ∵ PE⊥OA,PF⊥OB, PE=PF ∴ OP为∠AOB的平分线,(角平分线的判定)