“四翼”检测评价(六) 等差数列的前n项和的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

“四翼”检测评价(六) 等差数列的前n项和的应用 (一)基础落实 1．等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时n的值为(　 ) A．5 B．6 C．7 D．5或6 解析：选D　由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.从而S5＝S6，均为最小值． 2．已知等差数列{an}是无穷数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn(　 ) A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 解析：选A　由数列{an}为等差数列，且a1＜a2＜0，得公差d＝a2－a1＞0，故数列{an}为递增数列，且a1＜0，所以Sn有最小值，无最大值． 3．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列结论中正确的是(　 ) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析：选AB　∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；{Sn}中的最大项为S6，D不正确．故选A、B. 4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个凸多边形的边数n等于(　 ) A．12 B．16 C．9 D．10 解析：选C　设该凸多边形内角的度数依次构成等差数列{an}，则首项a1＝120，公差d＝5，则an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，n∈N＋，易知an<180，∴n<13，且n∈N＋，由n边形内角和定理得(n－2)×180＝120n＋×5，解得n＝16或n＝9，又n<13，n∈N＋，∴n＝9. 5．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，遂千五百二十岁，….生数皆终，万物复始，天以更元，作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　 ) A．71 B．72 C．89 D．90 解析：选C　设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89. 故最年长者的年龄为89. 6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0. 又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0. 所以当n＝8时，其前n项和最大． 答案：8 7．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________． 解析：∵∴∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 8．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是__________． 解析：d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0.∴a6＝0.∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….∴当n＝5或6时，Sn取到最大值． 答案：5或6 9.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 所以n2＋n－1 200≥0， 记f(n)＝n2＋n－1 200， 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根． 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 10．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由． 解：(1)依题意 即 由a3＝12，得a1＋2d＝12.　　　　③ 将③分别代入①②，得解得－<d<－3. (2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大． 由于S12＝6(a6＋a7