1.2 数列的函数特性（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

1．2　数列的函数特性 1．数列的图象 可以把一个数列视作定义在 (或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n＝1,2,3，…这个图象也称为数列的图象． 2．数列的单调性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作 数列 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即 ，那么这个数列叫作 数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作_______ 正整数集 an＋1>an 递增 an＋1<an 递减 常数列 1．判断正误 (1)一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列． (　 ) (2)数列是特殊的函数，因此其图象是连续不断的曲线． (　 ) (3)可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是 (　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 解析：由条件得an＋1－an＝3>0，可知an＋1>an，所以数列{an}是递增数列． 答案：A　 3．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 (　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0. 答案：C　 4．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}的最大项为 (　 ) A．5 B．11 C．10或11 D．36 解析：∵an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，∴当n＝5时，an取得最大值36. 答案：D　 [解]　图象如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的． 利用数列的图象判断数列的增减性 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．　　 [对点训练] 已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性． 解：由题可知，数列{an}的通项公式为an＝(－1)n＋2，n∈N＋， ∴a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，…，则数列{an}的图象 如图所示，所以该数列既不是递增的，也不是递减的． 作差法比较an＋1－an与0的大小的策略 若an＋1－an>0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递增数列； 若an＋1－an<0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是递减数列； 若an＋1－an＝0对于任意n(n∈N＋)恒成立，则数列{an}是常数列．　　 函数思想方法在数列问题中的应用 (1)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an与an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决． (2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．　　 [对点训练] 1．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 (　 ) A．(－∞，3] B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，6) 解析：依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N＋恒成立．注意到当n∈N＋时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 答案：D　 2．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3(n∈N＋)，则此数列中的最大值是　　 (　 ) A．107 B．108 C．108 D．109 解析：由题知数列{an}前8项为：1,1,2,2,4,2,6,4，不是单调递增数列，故选项A错误；由选项A可知，{an}的前8项中最大项为a7＝6，故选项B正确；当n为素数时，n与前n－1个数互素，故an＝n－1，所以选项C正确；因为a6＝2，故选项D错误． 答案：BC　 6．已知数列{an}满足：①先单调递减后单调递增；②当n＝3时取得最小值．写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________. 解析：设an＝(n－3)2(n∈N＋)，则an＋1＝(n－2)2，an＋1－an＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，当1≤n≤2，an＋1－an＝2n－5<0，数列单调递减，当n≥3，an＋1－an＝2n－5>0，数列单调递增，即a1>a2>a3<a4<…，可得当n＝3时数列取得最小值． 答案：an＝(n－3)2(n∈N＋)(答案不唯一) ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(二