2.1 第二课时 等差数列的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等差数列的性质及应用 1．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为 数列； (2)当d＜0时，数列{an}为 数列； (3)当d＝0时，数列{an}为 数列． 递增 递减 常 3．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广 (2)项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ . ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝ . ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系) ap＋aq 2ak 4．等差数列的性质 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列 {c·an} 公差为cd的等差数列 {an＋an－k} 公差为2d的等差数列 {pan＋qbn} 公差为pd1＋qd2的等差数列 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于 (　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：a3＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. 答案：C　 2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝ (　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 答案：B　 3．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是 (　 ) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19，即数列{an＋bn}是公差为19的等差数列． 答案：D　 4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列． 解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d. 答案：3d [对点训练] 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________． [解]　(1)∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，设其公差为d′， 则a60＝a15＋3d′＝8＋3d′＝20，解得d′＝4. ∴a75＝a60＋d′＝24. 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇔am＋an＝ak＋al＝2as.　　 [对点训练] 1．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝ (　 ) A．10 B．15 C．20 D．40 2．(多选)已知单调递增的等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列各式一定成立的有 (　 ) A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＝0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 解析：设等差数列{an}的公差为d，易知d＞0.∵等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正确，A错误．又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C错误． 答案：BD　 [解]　法一：由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为{an}，则其通项公式为an＝3n－1； 第二个数列是首项为2，公差为5的等差数列，记为{bm}，则其通项公式为bm＝5m－3. 有关两个等差数列公共项的问题，处理办法一般有两种：一是先利用两数列的公共项组成的新等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数求新数列的公差，然后找到第一项后用通项公式解决；二是从通项公式入手，建立am＝bn这样的方程，利用n＝f(m)，借助n，m均为正整数，得到n(或m)可取的整数形式，如本例中的m＝3k＋1，再求一定范围内的整数解，从而解决