微专题01 共线问题与数量积求解策略-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题01 共线问题与数量积求解策略 【题型归纳目录】 题型一：向量共线定理 题型二：鸡爪定理 题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角 题型四：数量积技巧2:一边定长转投影 题型五：数量积技巧3:极化恒等式 题型六：数量积之技巧4:基底法 题型七：数量积之技巧5:坐标法 【典型例题】 题型一：向量共线定理 例1．已知向量、、中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于　　 A． B． C． D． 【解析】解：与共线， 存在实数，使，① 又与共线， 存在实数，使，② 由①得：，③ 由②得．④ 根据平面向量基本定理，比较③、④得 ，由此可得 故选：． 例2．已知所在平面内的一点满足，则点必在　　 A．的外面 B．的内部 C．边上 D．边上 【解析】解：根据题意，，则有， 变形可得：， 即点必在边上， 故选：． 例3．（多选题）已知，则下列结论正确的是　　 A．，，，四点共线 B．，，三点共线 C． D． 【解析】解：， ，， ，，三点共线，， 无法得出，，，，四点共线， 故选：． 变式1．（多选题）下列命题是真命题的是　　 A．若，，，在一条直线上，则与是共线向量 B．若，，，不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则，，三点必在一条直线上 【解析】解：，若，，，在一条直线上，则与是共线向量，正确， ，若，，，四点构成平行四边形时，满足，，，不在一条直线上，但与是共线向量，错误， ，若，，，四点构成平行四边形时，满足与是共线向量，但，，，不在一条直线上，错误， ，若与是共线向量，且与有公共点，故与不平行，而是重合，则，，三点必在一条直线上，正确， 故选：． 变式2．设两个非零向量与不共线． （1）若，，，求证：，，三点共线； （2）试确定实数，使和反向． 【解析】解：（1）证明：， ，且， 与共线，且与有公共点， ，，三点共线； （2）设，，且不共线， 根据平面向量基本定理得：，解得或（舍去）． 变式3．设两个非零向量与不共线． （1）若，，求证：，，三点共线； （2）试确定实数，使与共线． 【解析】（1）证明：，， ， 与共线，又它们有公共点， ，，三点共线； （2）解：若和共线， 存在实数，使， 即， ，， 解得． 题型二：鸡爪定理 例4．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与、两边交于、两点、与、不重合），设，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】解：是的重心， ，， 、、三点共线， ， 即， 故 ， （当且仅当时，等号成立）， 故选：． 例5．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点，与点，不重合），设，，则的最小值为　　 A．2 B． C．4 D． 【解析】解：为的重心， ， 又在线段上， ， ， ， ， 由题意可知，， ，， ， 当且仅当，时等号成立， ， 即的最小值为4． 故选：． 例6．如图，在平行四边形中，、分别为、上的点，且，，连接、交于点，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】解：，， ， 三点，，共线． ， ， 故选：． 变式4．在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则　　 A． B． C． D． 【解析】解： 即是的一个三等分点， 过点作的平行线交于， 是中点，，且是的中点， 从而， ， ， 又，则 故选：． 变式5．（多选题）中，为上一点且满足，若为线段上一点，且满足，为正实数），则下列结论正确的是　　 A． B． C．的最大值为 D．的最小值为3 【解析】解：由题设，可得，又，，三点共线， ，即，故错误； 由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故错误； ，当且仅当时等号成立，故正确； ，又， ，故正确． 故选：． 变式6．在平行四边形中是对角线交点，是的中点，连接交于，设，，若，则　 　． 【解析】解：如图：； 因为是中点，是中点，则； 因为、、三点共线，所以设， 又因为、、三点共线，所以； 所以．即有，． 故答案为：； 变式7．求证：点在直线上的充要条件是对空间任意一个确定的点，存在实数使得． 【解析】证明：在直线上 ． 题目得证． 题型三：数量积之技巧1:已知两边夹角 例7．已知菱形的边长为，，则　　 A． B． C． D． 【解析】解：菱形的边长为，， ，， 则 故选：． 例8．已知菱形的边长为2，，则　　 A． B． C．3 D．6 【解析】解：菱形的边长为2，， ，， 由余弦定理可得， ， ， 故选：． 例9．（多选题）如图，已知平面四边形，，，，与交于点， 记，，，则错误的选项是　　 A． B． C． D． 【解析】解：取中点，中点， 由，，，与交于点， 可知，，， 即，，，， 即，，， 又，，， 即， 即， 故选：． 变式8．（