微专题02 平面向量的基本定理-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题02 平面向量的基本定理 【题型归纳目录】 题型一：平面向量基本定理的理解 题型二：利用基底表示向量 题型三：平面向量坐标化 题型四：等和线 【典型例题】 题型一：平面向量基本定理的理解 例1．设、是同一平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为基底的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】解：．假设存在非0实数，使得，化为，、是同一平面内所有向量的一组基底， ，解得．与假设矛盾，因此与能作为基底． ．，向量与共线，不能作为基底． ．假设存在非0实数，使得，化为， 、是同一平面内所有向量的一组基底，，解得． 与假设矛盾，因此与能作为基底． ．假设存在非0实数，使得，化为 ，、是同一平面内所有向量的一组基底，，解得．与假设矛盾， 因此与能作为基底． 综上可知：只有不能作为基底． 故选：． 例2．已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是 A．和 B．和 C．和 D．和 【解析】解：不共线的向量可以作为基底， 不能作为基底的便是共线向量， 显然，， 与共线． 故选：． 例3．（多选题）如果，平面内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是 A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一同量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若存在实数，使得，则 【解析】解：根据平面向量基本定理可知、选项正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误． 故选：． 变式1．（多选题）如果，是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个 C．若向量与共线，则有且只有一个实数，使得 D．若实数，使得，则且 【解析】解：根据平面向量基本定理可知正确， 根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定， 那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故选项错误， 当两向量的系数均为0，这样的有无数个，故选项错误， 若实数，使得，则和可以有1个等于零，错误． 故选：． 变式2．（多选题）下列说法中正确的有 A．已知是平面内两个非零向量，对于实数，，一定在该平面内 B．已知，是平面内的一组基底，若实数，使，则 C．已知是平面内两个非零向量，若实数，，，使，则， D．已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，使的实数，有且只有一对 【解析】解：对于，是平面内两个非零向量， 对于实数，，由基底的定义得一定在该平面内，故正确； 对于，，是平面内的一组基底， 若实数，使，则由基底的定义得，故正确； 对于，是平面内两个非零向量， 若实数，，，使， 则由向量相等的定义得，不一定成立，故错误； 对于，已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量， 由共面向量基本定理得使的实数，有且只有一对，故正确． 故选：． 变式3．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是．（写出所有满足条件的序号） 【解析】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 题型二：利用基底表示向量 例4．在中，为边上的中线，为的中点．则 A． B． C． D． 【解析】解：因为中，为边上的中线，为的中点， 所以， 故选：． 例5．如图所示，在中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【解析】解：如图所示， 在中，为边上的中线，为的中点， 故． 故选：． 例6．如图，一直线截平行四边形中的两边，于，，且交其对角线于，其中，，则的值为 A． B． C． D． 【解析】解： 由向量加法的平行四边形法则可知， 由，，三点共线可得， 故选：． 变式4．在平行四边形中，，与相交于点．若，则 A． B． C． D． 【解析】解：、、三点共线， 可设， 即． 同理可设， 即． ， 、不共线， 于是得， 解得， ． 故选：． 变式5．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于 A． B． C． D． 【解析】解：设， ，． ，，则． ，，，． 故选：． 变式6．设为所在平面内一点，，则 A． B． C． D． 【解析】解：由题意可知，为所在平面内的一点，如图所示， 则有①， ②， 因为，代入①中可得③， 由②③可得，． 故选：． 变式7．（多选题）如图，在四边形中，，，，为边上一点，且，为的中点，则 A． B． C． D． 【解析】解：根据题意，，选项正确； ，选项正确； ，选项正确； ，选项错误． 故选：． 题型三：平面向量坐标化 例7．已知向量、、在正方形网格中的位置