专题01 等腰三角形与一次函数综合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题01 等腰三角形与一次函数综合 【例题讲解】 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣4x﹣2交y轴于点C，与直线AB：y＝kx＋2交于点D，且S△ACD＝．（1）求D点坐标和直线AB的解析式； （2）点P为y轴上一点，当△ABP为等腰三角形时，求P点的坐标． 【详解】解：（1）由一次函数交轴于点，得点坐标为， 由直线，得点的坐标为，，， 中边的高，点的横坐标为，当时， 点的坐标，把点坐标代入直线，得， ，直线的解析式； （2）由直线的解析式，得点的坐标，， 当为等腰三角形时，分三种情况 ①以为圆心，长为半径作圆，则， 点坐标为，坐标为； ②以为圆心，长为半径作圆，则， 由等腰三角形三线合一得，点的坐标为； ③作的垂直平分线，交轴于点，则， 设OP4=x，则AP4=BP4=x+2，∵OB=4，在△OBP4中， ，即，解得：x=3， 点的坐标为， 点坐标为或或或． 【综合解答】 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且，点C是直线上一点，且在第一象限，满足关系式． (1)请直接写出点A的坐标____________； (2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，直线l交边或边于点Q，交于点R．设点P的横坐标为t，线段的长度为m．当时，直线l恰好过点C． ①求直线的函数表达式； ②当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②或或 【分析】（1）过A作轴于点D，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得到A坐标为； （2）①由，且，可得，在中，利用勾股定理求得的值，即可得到点C坐标，设出直线的函数表达式为y=kx，把代入 求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；②先求出直线AB的解析式，由题意点得 或，，列出方程，即可求得点P坐标； 【详解】（1）解：过A作轴于点D， ∵， ∴平分，且， ∴， ∴， ∴A坐标为， 故答案为：； （2）解：①连接， ∵，且， ∴， 当时，点P坐标为， ∵直线l恰好过点C， ∴， ， ， ， 点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 故直线的函数表达式为； ②设直线与直线交于点H，直线AB的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵直线l垂直x轴，， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为t，点R在直线上， ∴点 或，， ∵线段的长度为m， ∴或， 当时，或， 解得：或或， 故点P坐标为或或． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、求一次函数函数解析式、一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，作出相应的图形，分类讨论是解答此题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得，当经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标； (3)如图3，将△BCD沿x轴正方向以每秒1个单位的速度平移得，线段与AB交于点F，当是以为底边的等腰三角形时，请求出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)平移的距离为，D（4，1） (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等可得出∠OBC＝∠ECD，由旋转的性质可得出BC＝CD，结合∠BOC＝∠CED＝90°即可证出△BOC≌△CED（AAS）； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设OC＝m，则点D的坐标为（m＋3，m），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C，D的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，结合及点D在直线上可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，结合点C的坐标即可得出△BCD平移的距离； （3）令与AB交于点H，连接OF，作FP⊥x轴，HQ⊥x轴，设（1＋t，0），可得P（，0），根据F在直线AB上，可得出F，求出为等腰直角三角形，与（1）同理可证，即可得出，由点H在直线AB上，建立方程求解即可． （1） 解：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°， ∴∠OCB＋∠OBC＝90°，∠OCB＋∠ECD＝90°， ∴∠OBC＝∠ECD， ∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD， ∴BC＝CD， 在△BOC和△CED中， ∴△BOC≌△CED（AAS）． （2） ∵直线与x轴、y轴相交于A、B两点， ∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）， 设OC＝m， ∵△BOC≌△CED， ∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3， ∴点D的坐标为（m＋3，m）， ∵点D在直线上， ∴m＝−（m＋3）＋3， 解得：m＝l， ∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0），