专题02 等腰三角形与勾股定理综合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题02 等腰三角形与勾股定理综合 1．阅读下面材料： 某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 在中，，，，D是的中点， (1)问题发现：如图1，若点E、F分别在线段、上，且，连接、、、，此时小明发现___________°，__________（填“>、<、=”）；接下来小明和同学们继续探究，发现一个结论：线段与长的比值是一个固定值，即______． (2)变式探究：如图2，E、F分别在线段、的延长线上，且，若，求的长并写出过程． (3)拓展应用：如图3，，动点M在的延长线上，点H在直线上，且满足，，请直接写出的长为___________． 【答案】(1)45，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的三线合一即可得到，由此推出，证明，得到，求出是等腰直角三角形，勾股定理得到； （2）证明，得到，，推出，再由勾股定理得到答案； （3）分两种情况，①当H在线段上时，②当H在线段的延长线上时，连接，过点M作于F，由等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45，，； （2）解：∵，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：①当H在线段上时，如图，连接，过点M作于F， ∵， ∴是线段的中垂线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，，D是的中点， ∴ ∴； ②当H在线段的延长线上时，如图，连接，过点M作于F， 同理可得 ∴ ∴ ∴ 综上，的长为或． 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，根据已知得出是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，且，点C是直线上一点，且在第一象限，满足关系式． (1)请直接写出点A的坐标____________； (2)点P是线段上的一个动点（点P不与点O重合），过点P的直线l与x轴垂直，直线l交边或边于点Q，交于点R．设点P的横坐标为t，线段的长度为m．当时，直线l恰好过点C． ①求直线的函数表达式； ②当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①； ②或或 【分析】（1）过A作轴于点D，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得到A坐标为； （2）①由，且，可得，在中，利用勾股定理求得的值，即可得到点C坐标，设出直线的函数表达式为y=kx，把代入 求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；②先求出直线AB的解析式，由题意点得 或，，列出方程，即可求得点P坐标； 【详解】（1）解：过A作轴于点D， ∵， ∴平分，且， ∴， ∴， ∴A坐标为， 故答案为：； （2）解：①连接， ∵，且， ∴， 当时，点P坐标为， ∵直线l恰好过点C， ∴， ， ， ， 点C坐标为， 设直线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 故直线的函数表达式为； ②设直线与直线交于点H，直线AB的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为， ∵直线l垂直x轴，， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为t，点R在直线上， ∴点 或，， ∵线段的长度为m， ∴或， 当时，或， 解得：或或， 故点P坐标为或或． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、求一次函数函数解析式、一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，作出相应的图形，分类讨论是解答此题的关键． 3．已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作． (1)如图1，点D在边上，线段和线段数量关系是_______，位置关系是_______； (2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系是_______，若，．求的长； (3)拓展延伸 如图3，，请求出线段的长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先证明，，再利用证明∴，得到，由此即可得到结论； （2）同（1）可证，，利用勾股定理求出，进而求出的长即可利用勾股定理求出的长； （3）过C作交于A，设与相交于点O，证，得，则，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，由（1）得， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：； （3）解：过C作交于A，设与相交于点O，如图3所示：则， ∴，即 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等