第05讲 抛物线-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 抛物线 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 知识点2　抛物线的标准方程和几何性质 焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2． p的几何意义：焦点F到准线l的距离． 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 知识点3 直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 知识点4 弦长问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 【考点剖析】 考点一 抛物线的标准方程 （1） 求抛物线的标准方程 1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． （二）抛物线的几何性质的应用 4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆与抛物线的准线相切，则（    ） A． B． C．8 D．2 7．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 考点二 抛物线定义的应用 （一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标 10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．2 11．（2022·高二单元测试）已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点