专题04 三角恒等变换-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题04 三角恒等变换 【基础知识】 一、三角函数定义 1、设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 2、三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 二、诱导公式 诱导公式一：，， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 三、三角恒等变换公式 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （）． （）， （）， （）． 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 （）， （）， （） 3、降幂公式 ， ， ． 4、辅助角公式 ，其中，．叫做辅助角，的终边过点． 【概念辨析】 （1）若为第四象限角，则．( ) （2）对于任意角，，总有．( ) （3）存在角，，使得．( ) （4）设，为锐角，且，则．( ) （5）若，，则恒成立．( ) （6）( ) 【答案】（1）错误；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确（6）错误； 【典例精讲】 考点1 三角函数的概念 题型一 任意角三角函数的定义 例1．（2022春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期末）若角的终边过点，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义逐一判断即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以，即A正确；符号不确定，即BD不正确； 符号不确定，即C不正确；故选：A. 练习1（1）．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可. 【详解】解：因为，所以，所以. 故选：C. （2）．（2022春·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，化切为弦，结合平方关系可得，再由诱导公式求得的值． 【详解】因角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则有，即．再由，可得. 又由诱导公式，.故选：D． 题型二 同角平方关系 例2．（1）（2022春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知为第三象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系可得，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】∵为第三象限角，且， ∴，故.故选：B. （2）．（2022春·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件结合同角公式化简函数式，再借助正余弦值的正负计算作答. 【详解】令， 当x为第一象限角时，，则， 当x为第二象限角时，，则， 当x为第三象限角时，，则， 当x为第四象限角时，，则. 故选：ACD 练习2．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系先求出，，然后再利用商的关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得：或，则或， 因为，所以，，则，故选：. 题型三 齐次式 例3．（2022春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对原式利用两角和与差的正余弦公式化简，然后再利用同角三角函数的关系化简变形，再代值计算即可. 【详解】因为，所以 ，故选：A （2）．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过化弦为切得，代入数据即可. 【详解】由已知可得,则则 故选：D. 练习3 （2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据弦切互化可得，结合正弦的二倍角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】由得，所以， 所以. 故选：A （2）（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知锐角满足，则______. 【答案】 【分析】二倍角公示化简，可以得到的正切值，然后将要求解的关系式结合同角平方关系写成分式，将正余弦化切，代入即可得到结果. 【详解】∵，∴， 即，又∵为锐角，∴，∴，即，∴，故有：.故答案为：. 考点2 诱导公式 题型一 给角求值 例1．