9.2.2 向量的数乘（课件）-高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019） 必修第二册 9.2.2 向量的数乘 第9章 平面向量 学习目标 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 情境导入 小球从点O出发做匀速直线运动，如果经过1s的位移对应的向量用表示。 如图： 与实数乘法类似，我们把+ 记作3，即=3。 那么，在同方向上经过3s的位移所对应的向量应该怎样表示呢？ 则： 探究新知 由向量的几何意义可知，3的长度是的长度的3倍，即|3|=3||，3的方向与的方向相同. 显然的长度是向量长度的3倍，即。的方向与向量的方向相反，所以=3 . 那么，同样如右图， 探究新知 核心知识点一： 向量的数乘 一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ ，它的长度和方向规定如下： （1）|λ|=|λ|||. （2）若≠0，则当λ>0时， λ与方向相同；当λ<0时， λ与方向相反. 实数λ与向量相乘的运算，叫作向量的数乘. 特别地，当λ=0时，0=；当= 时，λ = . 探究新知 核心知识点二： 向量数乘的几何意义 当λ>0时，把向量沿着的相同方向放大或缩小； 当λ<0时，把向量沿着的相反方向放大或缩小. 探究新知 （1）λ（）=（λμ）； （2）（λ＋μ） =λ ＋μ ； （3）λ（ ＋ ）=λ ＋λ . 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算. 设，为向量，λ，为实数，可以验证向量的数乘满足下面的运算律： 重点探究 例1：若，化简5()+3(3 ＋)－4() 解析：5+3(3＋() =5+3(3＋() =15 + 9＋3 =2 重点探究 例2：若4( ＋ +2－2)－3(+ - )＝0，则＝____. 解析：因为4＋ )＋2(－2 )－3(+ - )＝0, 所以：3 -3 +3 =0 所以： - + =0 所以： = - 重点探究 【总结】向量线性运算的基本方法 类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. 方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 探究新知 一般地，对于两个向量（ ≠ ）， ，有如下的向量共线定理： 核心知识点三： 向量共线定理 设为非零向量,如果有一个实数,使 = , 那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使 = . 探究新知 证明：根据向量数乘的定义可知，对于向量（ ≠ ）和，如果证明 有一个实数λ，使=λ ，那么与是共线向量. 反过来，如果向量与( ≠ )是共线向量，那么当与同方向时，令λ=。当与反方向时，令λ=-;当= 时，令λ=0. 从而有一个实数λ，使=λ . 假设有两个实数λ，λ’，使=λ ， =λ’ ，则- (λ-λ’) = |λ-λ'|| |=0, 因为| ，所以 λ-λ'=0，即λ=λ'. 故有且仅有一个实数λ，使= λ . 重点探究 例3：设两个非零向量与不共线． (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和反向． 重点探究 【详解】（1）(1)证明： ， ，且，与共线，且有公共点B， A，B，D三点共线； （2）设，，且不共线， ，解得k=-1或k=1（舍去）． 重点探究 【总结1】证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. 【总结2】利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 随堂练习 D 随堂练习 A 随堂练习 C 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 课堂小结 1.向量数乘概念； 2.向量数乘的运算律； 3.共线向量定理。 谢 谢 ~