第12讲 解三角形与平面向量结合问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

第12讲 解三角形与平面向量结合问题 【例1】在中，已知，，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【例2】在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例4】在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例5】在中，角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的取值范围． 【例6】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求∠B的值； (2)已知D在边AC上，且，，求△ABC面积的最大值. 【例7】在中，. (1)求； (2)D在边BC上，，，求面积的最大值. 【题型专练】 1．的内角的对边分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A．2 B． C． D． 4．在中，角的对边分别为，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．在中，内角的对边分别是，. (1)求角的大小； (2)若点满足，且，求面积的最小值. 7．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________． ①；②；③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答： (1)求角C的值； (2)若且，求的值． 8．在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，. (1)求； (2)若，D为上靠近A的一个三等分点，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解三角形与平面向量结合问题 【例1】在中，已知，，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得三角形外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得的最小值. 【详解】设三角形外接圆半径为，则， 所以的外接圆半径为1，为钝角时，取到负值； 如图，为的中点，在上的投影向量为； 由可知当在上的投影长最长时， 即与圆相切时，可取到最小值； ， 当时，，所以的最小值为. 故选：D 【例2】在中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可求，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求的最大值． 【详解】解：如图，在中，边的中点为D 由，可得： ， ，可得：， ， ，可得：，（当且仅当时等号成立） 则的最大值为4. 故选：D. 【例3】在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得||的最小值为AB边上的高，由函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为，可求出∠ACB＝120°，即可求出||的最小值. 【详解】法一：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线， 所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点， 且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为. 又AC＝1，所以∠ACB＝120°，在中，， 从而可得||的最小值为. 故选：C. 法二：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线， 所以||的最小值为AB边上的高. 设的夹角为，所以 依题，可得，因为是钝角，所以. 在中，， 从而可得||的最小值为. 故选：C. 【例4】在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果. 【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下： ， 在三角形中，由余弦定理可得：，即， 则，故， 显然当且仅当时，取得最小值， 故，的最小值为. 即的最小值为. 故选： 【例5】在中，角、、的对边分别是、、，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. （1） 解：由可得， 所以，， 由正弦定理得， ， 、，则，所以，，故. （2） 解：由正弦定理可得，则，， ，