专题16.3 分式方程【十大题型】-2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题16.3 分式方程【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 解分式方程的一般方法】 1 【题型2 换元法解分式方程】 2 【题型3 裂项法解分式方程】 3 【题型4 根据分式方程的解求值】 4 【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】 4 【题型6 已知分式方程有增根求参数】 5 【题型7 已知分式方程有整数解求参数】 5 【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】 6 【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】 6 【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】 8 【知识点1 分式方程】 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程 （2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 （3）分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【题型1 解分式方程的一般方法】 【例1】（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）分式方程：的解是_________. 【变式1-1】（2022·广西贵港·八年级期中）解下列分式方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当________时，分式与分式互为相反数． 【变式1-3】（2022·上海·上外附中七年级期末）解方程： 【知识点2 换元法解分式方程】 换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系 例解方程： 另（x－y）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。 注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。 【题型2 换元法解分式方程】 【例2】（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题： 解方程：0． 解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解， ∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x． 经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或x． 上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题： (1)若在方程中，设　 　＝y，则原方程可化为　 　，原方程的解为　 　； (2)模仿上述换元法解方程：1＝0． 【变式2-1】（2022·上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·上海·八年级课时练习）如果，那么的值是（    ） A．1 B．-1 C．±1 D．4 【变式2-3】（2022·上海·九年级专题练习）解方程组： ． 【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】 解题技巧：裂项相消法： 【题型3 裂项法解分式方程】 【例3】（2022·山东烟台·八年级期中）观察下面的变形规律： =–；=–；=–；…… 解答下面的问题： (1)已知n为正整数，结合你的发现，请将写成上面式子形式； (2)说明你（1）中式子的正确性； (3)直接写出+++ … +的结果； (4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：． 【变式3-1】（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：，…，回答问题：若+++…+＝，则x的值为 _____． 【变式3-2】（2022·江苏·镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式： (1)由此可推断：=___； (2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律___； (3)仿照以上方法解方程： 【变式3-3】（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题．观察下列算式： …… (1)填空：＝　　＝　　； (2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：　　． (3)请用（2）中的规律解方程：． 【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】 （1）方程无解，即方程的根为增根； （2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围； （3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围 【题型4 根据分式方程的解求值】 【例4】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于的方程的解为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于的方程的增根是，则字母a的值为（    ） A． B． C． D